偏微分方程与特征线VIP专享

偏微分方程与特征线 1 函数空间的矢量场 给定一个矢量场ixiv)(xv，就在空间定义了曲线簇。比如，经过0x 点的积分曲线就可以描述为下列常微分方程的初值问题 )(xiivx ， ni,...,1 0)0(xx 这些积分曲线就构成了曲线簇。如果形式地写出这个曲线来就是 xvtxtvtvvttxtxtxxtx)exp(...)!3!21(...!3!2)(332232 此处 x 是 0 时刻位置，v 是作用于 x 的微分算符。 这些曲线，将空间点分成了类，也就是说每条曲线上的点属于一类。曲线集合的维数是 n-1维。 矢量场的可积性 那么给定两个矢量场，就会产生两簇曲线，这两簇曲线能否组成面簇呢？我们先 看看从一点出发的曲线是否在一个曲面上的条件：从 x 点出发的依此沿两簇直线运动的点若能回到来，就可以认为可以组成面。即 xxvducvbua)exp()exp()exp()(exp 如果 a,b,c,d 都是 1 级以上的小量，这个表达式有二级以上的精度，就可以找到这样的 a,b,c,d,使得方程精确满足。 按照各级展开，有 一级 00a1111dbc 二级 vdbucavuuvba)()()(222211 … 由此，得到条件 vuvuuvvu],[ 这就是两个矢量能够构成2 维子空间（曲面）的条件，著名的Frobenius 定理。 n 个矢量积分形成n 维积分只空间的条件是，任意两个矢量的对易可以写成这n 个矢量组合。 可以按照下图进行直观理解 满足 Frobenius 定理的两个矢量，能够形成二维子空间（二维曲面） 不满足 Frobenius 定理的两个矢量，不能形成二维子空间 给定m 个矢量场，他们线性组合能够形成新的矢量场。组成的矢量场空间一般称为分布。 },{是任意函数iiiiava 这个分布中任意两个矢量场对易仍然在这个分布之内，这样满足 Frobenius 定理的分布称为闭分布， ],[ 他们积分可以给出 m 维积分子流形。 单参数李群 一个矢量场可以构造单参数李群，一个闭分布可以构造李群。 我们先看一下单参数李群的表现，它将 1 维参数空间（物理上经常是时间），映射为群空间。群元素可以形式地写为算符形式 )exp(v tgt  在表示空间中也可以写为函数变换 ),(txxgt 这个函数变换是常微分方程的初值问题的解 xxtxvtxt)0,(),(),( 当然这个函数满足如下关系 v u v ))),,((()),(()()(tsxfstxfxfggxfgstst 比如平移群)exp(xaag 表示为 )()()exp()(axfxfaxfgxa， 再...