偏微分方程数值解期末试题及答案

偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、 设 矩 阵 A 对 称 ， 定 义)(),(),(21)(nRxxbxAxxJ，)()(0xxJ.若0)0(',则称称0x 是)(xJ的驻点（或稳定点）.矩阵 A 对称（不必正定），求证0x 是)(xJ的驻点的充要条件是：0x 是方程组 bAx 的解 解: 设nRx 0是)(xJ的驻点,对于任意的nRx ,令 ),(2),()()()(2000xAxxbAxxJxxJ, (3 分) 0)0(', 即 对 于 任 意 的nRx ,0),(0xbAx, 特 别 取bAxx0, 则 有0||||),(2000bAxbAxbAx,得到bAx 0. (3 分) 反之,若nRx 0满足bAx 0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00xJxAxxxJ,因此0x 是)(xJ的最小值点. (4 分) 评分标准:)(的展开式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分 二（10 分）、 对于两点边值问题：0)(,0)(),()(' buaubaxfqudxdupdxdLu 其中]),([,0]),,([,0)(min)(]),,([0min],[1baHfqbaCqpxpxpbaCpbax 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的 Ritz形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11aubaHuuHE为 求 解函 数空 间 , 检 验 函 数空 间 . 取),(1baHvE,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3 分) )().(),(vffvdxdxquvdxdvdxdupvuababa,),(1baHvE 即变分问题的Galerkin 形式. (3 分) 令badxfuqudxdupufuuauJ])([21),(),(21)(22,则变分问题的 Ritz形式为求),(1*baHuE,使)(min)(1*uJuJEHu (4 分) 评分标准:空间描述与积分步骤3 分,变分方程3 分,极小函数及其变分问题4 分, 三（20 分）、对于边值问题 xuuuuGyxyuxuyyxx1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。 （2）取3/1h，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （3）就5/1h和Nh/1的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解: (1) 区域离散khyjhxkj,,差分格式为 02221,1,2,1,1huuuhuuukjjkkjkjjkkj (5 分) 应用Tayloy展开得到,截断误差为)(][12444442hOyuxuhjk ,其阶为)(2hO...