偏微分方程的几种经典解法

1 偏微分方程的几种经典解法 经过一个学期偏微分方程课程的学习,我们掌握了几种求解三种典型方程的方法,如分离变量法、行波法、特征函数展开法、求解非齐次方程的Duhanmel 原理灯,此外,我们通过学习还掌握了求解波动方程的'D Alembert 公式,求解位势方程的Green公式等等.这些经典方法的综合运用可以求解很多初等偏微分方程,故而是基本而重要的. 本文着重总结了偏微分方程的几种经典解法,一次介绍了分离变量法、行波法、幂级数解法、Fourier 变换法以及Green函数法,通过对典型方程的研究,深入理解集中经典方法. 1 .分离变量法 分离变量法：基本思想是设法把偏微分方程的问题转化为解常微分方程的问题. 1 .1 第一初边值问题 例：利用分离变量法求解下述问题(非齐次0边值双曲方程) 2222sin 2 cos2 ,uuxttx 0,0xt (1.1) (0, )( , )0,utut 0t  (1.2) ( ,0)sin ,u xx 0x (1.3) ( ,0)sin 2 ,u xxt 0x (1.4) 解：用分离变量法求问题(1.1)—(1.4)的形式解.设该问题有如下形式的非零解 ( , )( ) ( )u x tX x T t (1.5) 方程(1.1)对应的齐次方程为 22220,uutx0,0xt (1.6) 将(1.5)式代入方程(1.6)得 2 ""( ) ( )( )( ),Xx T tX x T t0,0xt 即 ""( )( )( )( )XxT tX xT t (1.7) 其中 为固定常数,下面证明0 . 由(1.7)有 "( )( )0,XxX x 上式两端同乘( )X x ,并在(0,) 上积分,得 "200( )( )( )0,Xx X x dxXx dx 注意到由(1.2)和(1.5)有 (0)( )0,XX  所以有 '2200( )( )Xx dxXx dx 易见0 . 所以(1.2)—(1.6)可以化为如下形式的两个常微分问题,即   "( )( )0,1(0)( )0,2XxX xXX 以及由"( )( )0T tT t和适当的定解条件确定的关于( )T t 的常微分问题. 求解问题(1).根据常微分方程的理论可知 ,问题(1)的通解为 ( )cossin.X xAxBx 将其带入(0)0,X得0A .再将( )sinX xBx带入( )0X  ,得 2,1,2,3,nn n  特征值2nn 相应的特征函数为 ( )sin,1,2,nXxnx n (1.8) 注意到1( )nnXx 是一个直交系统 ,即 00,,( )( ),,2mnmnXx Xx dxmn  3 这表明...