南航0714矩阵论试卷

南京航空航天大学07-14 硕士研究生矩阵论试题 2007 ~ 2008 学年《矩阵论》 课程考试A 卷 一、（20 分）设矩阵111322211A， （1）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值； （2）求 A 的行列式因子、不变因子和初等因子； （3）求 A 的最小多项式，并计算IAA236； （4）写出 A 的 Jordan 标准形。 二、（20 分）设22R是实数域 R 上全体22实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。 （1）求22R的维数，并写出其一组基； （2）设W 是全体22实对称矩阵的集合， 证明：W 是22R的子空间，并写出W 的维数和一组基； （3）在W 中定义内积WBABAtrBA,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基； （4）给出22R上的线性变换T ： 22,)(RAAAATT 写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(TKer和值域)(TR。 三、（20 分） （1）设121312A，求1A ，2A，A，FA； （2）设nnijCaA)(，令ijjianA,*max， 证明：* 是nnC  上的矩阵范数并说明具有相容性； （3）证明：*2*1AAAn。 四、（20 分）已知矩阵100100011111A，向量2112b， （1）求矩阵A 的QR分解； （2）计算A ； （3）用广义逆判断方程组bAx 是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。 五、（20 分） （1）设矩阵15.025.011210,2223235ttBttA，其中 t 为实数， 问当 t 满足什么条件时, BA 成立？ （2）设 n 阶 Hermite 矩阵022121211AAAAAH，其中kkCA11， 证明：0,012111122211 AAAAAH。 （3）已知 Hermite 矩阵 nnijCaA，niaaijijii,,2,1 ，证明： A 正定。 2007 ~ 2008 学年《矩阵论》 课程考试 B 卷 一．（20 分）已知矩阵040041221A， （1）求A 的不变因子、初等因子及最小多项式； （2）求A 的 Jordan 标准形 J 及可逆变换矩阵 P ，使得1PAPJ； （3）问矩阵序列 kA是否收敛？. 二．（20 分） （1）已知矩阵210023120A  ，求12,,,;FAAAA （2）设 A 为 n 阶可逆矩阵，  是n nC  上的...