南京航空航天大学07-14 硕士研究生矩阵论试题 2007 ~ 2008 学年《矩阵论》 课程考试A 卷 一、(20 分)设矩阵111322211A, (1)求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值; (2)求 A 的行列式因子、不变因子和初等因子; (3)求 A 的最小多项式,并计算IAA236; (4)写出 A 的 Jordan 标准形。 二、(20 分)设22R是实数域 R 上全体22实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。 (1)求22R的维数,并写出其一组基; (2)设W 是全体22实对称矩阵的集合, 证明:W 是22R的子空间,并写出W 的维数和一组基; (3)在W 中定义内积WBABAtrBA,),(),(其中,求出W 的一组标准正交基; (4)给出22R上的线性变换T : 22,)(RAAAATT 写出线性变换T 在(1)中所取基下的矩阵,并求T 的核)(TKer和值域)(TR。 三、(20 分) (1)设121312A,求1A ,2A,A,FA; (2)设nnijCaA)(,令ijjianA,*max, 证明:* 是nnC 上的矩阵范数并说明具有相容性; (3)证明:*2*1AAAn。 四、(20 分)已知矩阵100100011111A,向量2112b, (1)求矩阵A 的QR分解; (2)计算A ; (3)用广义逆判断方程组bAx 是否相容?若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。 五、(20 分) (1)设矩阵15.025.011210,2223235ttBttA,其中 t 为实数, 问当 t 满足什么条件时, BA 成立? (2)设 n 阶 Hermite 矩阵022121211AAAAAH,其中kkCA11, 证明:0,012111122211 AAAAAH。 (3)已知 Hermite 矩阵 nnijCaA,niaaijijii,,2,1 ,证明: A 正定。 2007 ~ 2008 学年《矩阵论》 课程考试 B 卷 一.(20 分)已知矩阵040041221A, (1)求A 的不变因子、初等因子及最小多项式; (2)求A 的 Jordan 标准形 J 及可逆变换矩阵 P ,使得1PAPJ; (3)问矩阵序列 kA是否收敛?. 二.(20 分) (1)已知矩阵210023120A ,求12,,,;FAAAA (2)设 A 为 n 阶可逆矩阵, 是n nC 上的...