历年(9510)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解几何

历年(9 5 -1 0 )年全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(4 ) 证明题 (9道题) 1.材已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。 1995 年全国初中数学联赛试题 证法1：如图6，连DF，则由已知，有 连BD、CF，由CD＝CB，知 ∠FBD＝∠CBD－45° ＝∠CDB－45°＝∠FDB， 得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线． 由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心． 证法 2 ： 同 证法 1 ，得 出 ∠CDF ＝45°＝90°－ 45°＝∠FDE 之 后 ，由 于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得 ∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分线． 2. 设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP． 1996年全国初中数学联赛试题 证 作AD、BO的延长线相交于G， OE 3．如图所示，已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦 AD，过点 D 作DE⊥AB 于点 E，连结 AC，与 DE 交于点 P. 问 EP 与 PD 是否相等？证明你的结论. P D O C A B E 2003 年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 解：DP=PE. 证明如下： 因为AB 是⊙O 的直径，BC 是切线， 所以AB⊥BC. 由Rt△AEP∽Rt△ABC，得 ABAEBCEP  . ① 又 AD∥OC，所以∠ DAE=∠ COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC. 故ABAEABAEOBAEBCED221 ② 由①，②得 ED=2EP. 所以 DP=PE. 4．如图所示，在△ABC 中，∠ ACB=90°. （1）当点 D 在斜边 AB 内部时，求证：ABBDADBCBDCD222. （2）当点 D 与点 A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点 D 在 BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. B A C D 2003 年“TRULY® 信利杯”全国初中数学竞赛试题 证：（1）作 DE⊥BC，垂足为E. 由勾股定理得 .)()()(22222222BCBECEBECEDEBEDECEBDCD C A B D E 所以 BCBEBCCEBCBECEBCBDCD222. 因为DE∥AC，所以 ABBDBCBEABADBCCE,. 故 ABBDADABBDABADBCBDCD222. （2）当点D 与点...