历年全国理科数学高考试题立体几何部分

第 1 页 共 11 页 （一） 1 .在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4 的球O 的球面上，且6 ,23ABBC,则棱锥OABCD的体积为 。 3.如图，四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。 第 2 页 共 11 页 （一） 1.D 2.8 3 3. 解：（Ⅰ）因为60 ,2DABABAD， 由余弦定理得 3BDAD 从而BD2+AD2= AB2，故BD AD 又PD 底面ABCD，可得BD PD 所以BD 平面PAD. 故 PA BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D- xyz ，则 1,0,0A，03,0B，，1, 3,0C ，0,0,1P。 ( 1,3,0),(0,3, 1),( 1,0,0)ABPBBC   设平面PAB 的法向量为n=（x，y，z），则0,0,{n ABn PB 即 3030xyyz  因此可取 n=( 3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m，则 m0,m0,{PBBC 可取 m=（0，-1，3） 42 7cos,72 7m n  故二面角A-PB-C的余弦值为 2 77 第 3 页 共 11 页 （二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B1B 与平面AC1D 所成角的余弦值为 A 23 B33 C 23 D63 2. 已知圆O 的半径为1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为俩切点，那么PA PB•的最小值为 (A) 42  (B) 32  (C) 42 2  (D) 32 2  3. 已知在半径为2 的球面上有A、B、C、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 2 33 (B) 4 33 (C) 2 3 (D) 8 33 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD  底面ABCD，AB//DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC  平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 第 4 页 共 11 页 （二） 1. D 2. D 3. B 4. 解法一： (Ⅰ)连接 BD,取 DC 的中点 G，连接 BG, 由此知 1,DGGCBG即 ABC为直角三角形，故 BCBD. 又ABCD,BCSDSD 平面故, 所以， BC 平面BDS,BCDE . 作 BK  EC,EDCSBCK为垂足，因平面平面， 故,BKEDCBKDE DE平面，与平面 SBC 内的两条相交直线 BK、BC 都垂直 DE⊥平面 SBC，DE⊥EC,DE...