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反三角函数与最简三角方程

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- 1 - 反三角函数: 1、概念:把正弦函数sinyx, ,2 2x  时的反函数,称为反正弦函数,记作xyarcsin. 注意: sin ()yx xR,不存在反函数. 2、含义:arcsin x 表示一个角 ;角,2 2  ;sinx . 3、反余弦、反正切函数同理,性质如下表. 其中: (1). 符号arcsinx 可以理解为[-2 ,2 ]上的一个角(弧度),也可以理解为区间[-2 ,2 ]上的一个实数;同样符号arccosx 可以理解为[0,π]上的一个角(弧度),也可以理解为区间[0,π]上的一个实数; (2). y=arcsinx 等价于 siny=x, y∈[-2 ,2 ], y=arccosx 等价于 cosy=x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据; (3).恒等式: sin(arcsin x)=x, x∈[-1, 1] , cos(arccos x)=x, x∈[-1, 1], arcsin(sin x)=x, x∈[-2 ,2 ], arccos(cos x)=x, x∈[0, π] arcsinx+arccosx=2 , arctanx+arccotx=2 。 名称 函数式 定义域 值域 奇偶性 单调性 反正弦函数 xyarcsin 1,1增 2,2 奇函数 增函数 反余弦函数 xyarccos 1,1减 ,0 xxarccos)arccos( 非奇非偶 减函数 反正切函数 arctanyx R 增 2,2 奇函数 增函数 反余切函数 cotyarcx R 减 ,0 cot()cotarcxarcx 非奇非偶 减函数 - 2 - 最简单的三角方程 方程 方程的解集 ax sin 1a Zkakxx,arcsin2| 1a Zkakxxk,arcsin1| ax cos 1a Zkakxx,arccos2| 1a Zkakxx,arccos2| tan xa |arctan ,x xka kZ cot xa |cot ,x xkarca kZ 其中: (1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解,如果有解,求出三角方程的解集; (2).解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础,要在理解三角方程的基础上,熟练地写出最简单的三角方程的解; (3).要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用; 如:若sinsin,则sin( 1)kk ;若coscos,则2k; 若tantan,则ak;若cotcot,则ak; (4)....

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