各种平滑算法

算法： 一、移动窗口最小二乘多项式平滑(Savitzky-Golay Smoothing) 假设数据(光谱或者是色谱等)为 x ，选定的平滑窗口大小为 m (其必须为奇数，这里以 7为例)，多项式次数为 n，这里以 3 为例，当前平滑的点为 x 0，前 3 个点分别记为：x -3，x -2，x -1，以及后三个点记为：x 1，x 2，x 3。 移动窗口最小二乘多项式平滑就是利用中心点以及其前 3 个点和后 3 个点进行最小二乘拟和。每一个点可以表示为不同的多项式的结果，从而 7 个点可以表示成为含有 n+1(下面的例子是 4 个)个未知数，m(例子中为 7)个方程的方程组： 23301230123232012301232310123012323001230210123*( 3)*( 3)*( 3)3927*( 2)*( 2)*( 2)248*( 1)*( 1)*( 1)*( 0)*( 0)*( 0)*(1)*(1)*(1)xbbbbbbbbxbbbbbbbbxbbbbbbbbxbbbbbxbbbb301232320123012323301230123*(2)*(2)*(2)248*(3)*(3)*(3)3927bbbbxbbbbbbbbxbbbbbbbb(1) 对于上述方程的求解，采用最小二乘法。利用线性代数中的矩阵知识，线性方程可以表示成为下面矩阵形式： 320110213231392712481111*10001111124813927xxbxbxbxbxx   (2) 即： A*b=x (3) 因而采用最小二乘法运算，得到一个 b 的解析解 b*： b*=(At*A)-1*At*x (4) 从而得到这个方程组的最小二乘解为： 32011021323-691 82 11 89-65 .5-1 6 .7 5-1 4 .501 4 .51 6 .7 5-5 .51*3 .7 50-2 .2 5-3-2 .2 503 .7 56 3-1 .7 51 .7 51 .7 50-1 .7 5-1 .7 51 .7 5xxbxbxbxbxx    (5 ) 将求出来的b*代入方程(1 )或者(2 )就可以求出平滑之后的数据点。实际上，如果将方程(5 )求得的b*代入方程(1 )或者(2 )之后得到如下 7 个方程： 3-3-2-101232-3-2-101231-3-2-101230-3-2-101231-3-2-1011 *(3 9 x+8 x-4 x-4 x +x +4 x -2 x )4 21 *(8 x+1 9 x+1 6 x +6 x -4 x -7 x +4 x )4 21 *(-4 x+1 6...