同构式在高中数学中的应用

1 同 构 式 在 高 中 数 学 中 的 应 用 【类型1】同构式在不等式中的应用 如 果 不 等 式 的 两 侧 呈 现 同 构 特 征 ， 则 可 将 相 同 的 结 构 构 造 成 一 个 函 数 ， 进 而 利 用 函 数 的 单 调 性 ， 可 以 比 较 大 小或 解 不 等 式 。 ⑵12121212112212()()()()()()()f xf xk xxf xf xkxkxf xkxf xkxxxkxxfy)(为增函数 ⑵12121212121212122112()()()()()()()()( )f xf xk xxkkkkkkxxf xf xf xf xyf xxxx xx xxxxxx为减函数。 含 有 地 位 同 等 的 两 个 变 量21, xx或qp,等 不 等 式 ， 如 果 整 理 （ 即 同 构 ） 后 不 等 式 两 边 具 有 结 构 的 一 致 性 ， 往 往暗 示 单 调 性 （ 需 要 预 先 设 定 两 个 变 量 的 大 小 ） 【例 1】设 ,x yR，满足55(1)2sin(1)3(1)2sin(1)1xxxyyy，则_________xy 【 思 路 分 析 】 本 题 研 究 对 象 并 非,x y ， 而 是1,1xy ， 进 而 可 变 形 为55(1)2(1)sin(1)1(1)2(1)sin(1)1xxxyyy ， 观 察 上 下两 个 式 子 左 边 结 构 相 同 ， 进 而 可 将 相 同 结 构 视 为 一 个 函 数 ， 而 等 式 右 边 两 个 结 果 互 为 相 反 数 ， 可 联 想 到 函 数 的 奇 偶性 ， 从 而 利 用 函 数 性 质 求 解 。 【 解 析 】5555(1)2sin(1)3(1)2(1)sin(1)1(1)2sin(1)1(1)2(1)sin(1)1xxxxxxyyyyyy ， 设5( )2sinf tttt， 易 知( )yf t是奇 函 数 ， 由 题 可 知 ，(1)1(1)1f xf y ，(1)(1)f xf y ，1(1)2xyxy   。 【例 2】不等式2101120222(1)210xxx 的解集为 【 解 析 】 不 等 式 可 以 变 形 为2101122 10112(1)1()0xxxx ，2 101122 10112()(1)1xxxx ， 令1011( )f xxx， 22()(1)f xfx， 显 然( )f x 在R 上 单 调 递 增 ，2221221,,222xxx...