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同济大学(高等数学)_第四章_不定积分

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1 第四章 不定积分 前面讨论了一元函数微分学,从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容:一元函数积分学.本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法. 第1 节 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念 在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数(或微分)的问题,例如,变速直线运动中已知位移函数为 ( )ss t, 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为 ( )vs t. 实际上,在运动学中常常遇到相反的问题,即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度 ( )vv t, 求出质点的位移函数 ( )ss t. 即已知函数的导数,求原来的函数.这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在.为了便于研究,我们引入以下概念. 1.1.1原函数 定义 1 如果在区间 I 上,可导函数( )F x 的导函数为( )f x ,即对任一 xI ,都有 ( )( )F xf x 或 d ( )( )dF xf xx, 那么函数( )F x 就称为( )f x在区间 I 上的原函数. 例如,在变速直线运动中,( )( )s tv t,所以位移函数 ( )s t 是速度函数 ( )v t 的原函数; 再如,(sin )'cosxx,所以sin x 是 cos x 在 (,)  上的一个原函数.1(ln )'(0),xxx所以 ln x 是 1x 在 (0,) 的一个原函数. 一个函数具备什么样的条件,就一定存在原函数呢?这里我们给出一个充分条件. 定理1 如果函数( )f x 在区间 I 上连续,那么在区间 I 上一定存在可导函数( )F x ,使对任一 xI 都有 ( )( )F xf x . 简言之,连续函数一定有原函数.由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数. 定理1 的证明,将在后面章节给出. 关于原函数,不难得到下面的结论: 若( )( )F xf x ,则对于任意 常数C ,( ) F xC 都是( )f x 的原函数.也 就是说 ,一个函数如果存在原函数,则有无 穷 多 个. 假 设( )F x 和 ( ) x 都是( )f x 的原函数,则[( )( )]0F xx,必 有( )( )F xx C ,即一个 2 函数的任意两个原函数之间相差一个常数. 因此我们有如下的定理: 定理 2 若( )F x 和 ( ) x 都是( )f x 的原函数,则( )( )F xxC(C 为任意常数). 若( )( )F xf x,则( ) F xC ( C 为任意常数)表示( )f x 的所...

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