同济大学(高等数学)_第四章_不定积分

1 第四章 不定积分 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1 节 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念 在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 ( )ss t， 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为 ( )vs t． 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度 ( )vv t， 求出质点的位移函数 ( )ss t． 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念． 1.1.1原函数 定义 1 如果在区间 I 上，可导函数( )F x 的导函数为( )f x ，即对任一 xI ，都有 ( )( )F xf x 或 d ( )( )dF xf xx， 那么函数( )F x 就称为( )f x在区间 I 上的原函数． 例如，在变速直线运动中，( )( )s tv t，所以位移函数 ( )s t 是速度函数 ( )v t 的原函数； 再如，(sin )'cosxx，所以sin x 是 cos x 在 (,)  上的一个原函数．1(ln )'(0),xxx所以 ln x 是 1x 在 (0,) 的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件． 定理1 如果函数( )f x 在区间 I 上连续，那么在区间 I 上一定存在可导函数( )F x ，使对任一 xI 都有 ( )( )F xf x ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定理1 的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论： 若( )( )F xf x ，则对于任意 常数C ，( ) F xC 都是( )f x 的原函数．也 就是说 ，一个函数如果存在原函数，则有无 穷 多 个． 假 设( )F x 和 ( ) x 都是( )f x 的原函数，则[( )( )]0F xx，必 有( )( )F xx C ,即一个 2 函数的任意两个原函数之间相差一个常数． 因此我们有如下的定理： 定理 2 若( )F x 和 ( ) x 都是( )f x 的原函数，则( )( )F xxC（C 为任意常数）． 若( )( )F xf x，则( ) F xC （ C 为任意常数）表示( )f x 的所...