专题讲义： 向量法求解空间距离与空间角 - 1 - 向量法求解空间距离与空间角 要求能掌握用向量法解决空间距离与空间角问题。 一、 空间向量与空间距离 由向量的数量积|| | |cosAB bABb 可知，向量AB在向量b（直线l 的方向向量）方向上的射影（投影）是||cos| |AB bABb ，也就是说向量AB在向量b（直线l 的方向向量）方向上的射影（投影）是线段AB 在直线l 上射影线段的长。 1 、 点面距离公式： 平面 的法向量为n， P 是平面 外一点，点M 为平面 内任一点，则P 到平面 的距离d 就是MP在向量n方向上射影的绝对值，即||| |n MPdn 。 2 、 线面距离公式： 平面 ∥直线l，平面 的法向量为n， P∈直线l，点M 为平面 内一点，则直线l 与平面 的距离d 就是MP在向量n方向上射影的绝对值，即||| |n MPdn 。 3 、 面面距离公式： 平面 ∥平面 ，平面 的法向量为n，点M 为平面 内一点，点P 为 平面 内一点，则平面 与平面 的距离d就是MP在向量n方向上射影的绝对值，即||| |n MPdn 。 4 、向量法求解距离问题的步骤： ① 建立适当的空间直角坐标系； ② 将相应线段及平面的法线等用向量或坐标表示出来； ③ 利用向量的相应距离公式求解。 5 、典例评析： 例 1、（ 03 广东）已知四棱柱ABCD－ A1B1C1D1 中，AB=1， AA1=2，点E 是 CC1 的中点，F是 BD1 中点。 （ 1）证明：EF 是 BD1 与 CC1 的公垂线； （ 2）求点D1 到面BDE 的距离。 （ 233） PMnPMnlPMnABCDyx1A1B1Cz1DEF专题讲义： 向量法求解空间距离与空间角 - 2 - 二、 空间向量与空间的角 1、 异面直线所成的角： 异面直线a、 b 的方向向量分别为m、 n，其向量的夹角为 ，直线a、 b 的所成的角为 ，(0,]2 ，则||cos|cos|||| |m nm n ，即||cos||| |m narcm n 。 注：异面直线所成的角(0,]2 ，用向量法求异面直线所成的角的步骤： ① 建立适当的空间直角坐标系； ② 将两条异面直线用向量或坐标表示出来； ③ 利用向量的夹角公式求解。 例2、（ 02 上海春）三棱柱OA...
