§6 .哈密顿正则方程 引 言 ： 哈 密 顿 正 则 方 程 是 与 拉 氏 方 程 ：0aaqLqLdtd等 价 的 动 力 学 方 程 。sqLqLdtdaa,....2,10，这组拉氏方程是 s 个关于广义坐标aq 的二阶常微分方程。在这组拉氏方程中的拉氏函数 L 它是广义坐标 q，广义速度 q 以及时间 t 的函数：),,(tqqLL。 如果我 们把拉氏 函数中 的广义 速度aq 变换 成→广 义动量p， 即),,(tpqLL 那么就可以将上面的 s 个拉氏方程①化成 2s 个一阶常微分方程，而且这 2s 个一阶常微分方程还具有一定的很漂亮的对称性②具有一定的对称性。要想把拉氏函数：),,(tqqLL变成是广义坐标、广义动量 P 及时间 t 的函数→),,(tpgLL ，以及将 s 个拉氏方程化成 2s 个一阶常微分方程。将会用到勒襄特变换这一数学工具。∴得先介绍一下： 一．勒襄特变换（只作了解，不作要求，大纲不要求讲这部分内容） 现在先讨论两个变量的勒襄德变换，假设所给的函数是两个变量 x1 和 x2的函数，即：),(21 xxff 。则由高等数学的知识可得此函数的全微分：2211dxxfdxxfdf在此我们令11xfu,22xfu,[iixfu(i=1,2)]……①并以1u 和2u 为新的变量定义一个新函数 g: 212211iiifuxuxfuxg……②如果我们从变换方程①解出ix ，使ix 是iu 的函数，即)(iiiuxx ，再代入上式②中去，那么，g 就是只含新变量iu 的函数了，即：),(21 uugg 。我们先对②式两边进行微分，则得：21212121)()(iiiiiiiiiiiiiiiiiduxdxxfuduxdxxfdxuduxdg又 将旧变量ix 换成新变量iu 之后，新函数 g 就是新变量iu 的函数：),(21 uugg 那么对它微分就有：2211duugduugdg……*′，将这个等式与上一等式进行比较就可得到变换关系：11ugx，222duugx……③前面我们利用变换方程①把旧的变量 x1,x2 及旧的函数),(21 xxf变为新的变量21,uu及新的函数),(21 uugg 的方法，就称为勒让德变换。我们从方程①结合方程③又可看出，勒让德变换具有完全的对称性：新变量就是旧函数对旧变量的偏导数，而旧变量又恰好是新函数对新变量的偏导数。所以说勒让德变换具有很好的对称性。虽然，我们在前面是以两个变量的情况推出勒让德变换的，但是，由上面的推导结果，我们很容易把...
