1 教材习题解答 第一章 集合及其运算 8P 习题 3. 写出方程2210xx 的根所构成的集合。 解:2210xx 的根为1x ,故所求集合为{ 1} 4.下列命题中哪些是真的,哪些为假 a)对每个集A,A ;b)对每个集A,A ; c)对每个集A,{ }AA;d)对每个集A, AA; e)对每个集A, AA;f)对每个集A,{ }AA; g)对每个集A,2AA;h)对每个集A,2AA ; i)对每个集A,{ }2AA ;j)对每个集A,{ }2AA ; k)对每个集A,2A ;l)对每个集A,2A ; m)对每个集A,{ }AA;n){ }; o){ } 中没有任何元素;p)若 AB,则 22AB q)对任何集A,{ |}Ax xA;r)对任何集A,{ |}{ |}x xAy yA; s)对任何集A,{ |}yAyx xA;t)对任何集A,{ |}{|}x xAA AA; 答案:假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有 n 个集合12,,,nA AA 且121nAAAA,试证: 12nAAA 证明:由1241nAAAAA,可得12AA且21AA,故12AA。 同理可得:134nAAAA 因此123nAAAA 6.设{ ,{ } }S ,试求 2S ? 2 解:2{ ,{ } ,{ { } } ,{ ,{ }}}S 7.设S 恰有n 个元素,证明2S 有2n 个元素。 证明:(1)当n=0 时,0,2{ }, 212SSS ,命题成立。 (2)假设当(0,)nk kkN时命题成立,即22Sk(Sk时)。那么对于1S(11Sk ),12S 中的元素可分为两类,一类为不包含1S 中某一元素x 的集合,另一类为包含x的集合。显然,这两类元素个数均为2k 。因而1122Sk,亦即命题在1nk 时也成立。 由(1)、(2),可证得命题在nN时均成立。 16P 习题 1.设A、B 是集合,证明: (\)() \A BBABBB 证:当B时,显然(\)() \A BBABB,得证。 假设B,则必存在xB,使得(\)xA BB但() \xABB,故(\)() \A BBABB与题设矛盾。所以假设不成立,故B。 2.设A、B 是集合,试证ABA B 证:显然。 反证法:假设A,则0xA,若0xB,则0x 左,但0x 右,矛盾。 若0xB,则0x 左,但0x 右,矛盾。故假设不成立,即A。 3. 设A,B,C 是集合,证明: ()()A BCAB C 证:()[(\)(\)][()()]CCA BCA BB ACABBAC [()() \](\ ...