一阶偏微分方程基本知识VIP专享

精品文档---下载后可任意编辑这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。1 一阶常微分方程组的首次积分首次积分的定义从第三章我们知道，阶常微分方程y(n)=f (x , y ', y'',⋯, y(n−1))，（1.1）在变换 （1.2）之下，等价于下面的一阶微分方程组（1.3）在第三章中，已经介绍过方程组（1.3）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的（1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（1.3）的问题。先看几个例子。例 1 求解微分方程组（1.4）解：将第一式的两端同乘，第二式的两端同乘，然后相加，得到x dxdt + y dydt =−(x2+ y2)(x2+ y2−1)，。这个微分方程关于变量 t 和是可以分离，因此不难求得其解为x2+ y2−1x2+ y2e2t=C1， （1.5）为积分常数。（1.5）叫做（1.4）的首次积分。 注意首次积分（1.5）的左端作为 x，y，和 t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当时微分方程组（1.4）的解时，才等于常数，这里的常数应随解而异。因为式（1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（1.5）不足以确定它的解。为了确定（1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。将第一式两端同乘，第二式两端同乘，然后用第一式减去第二式，得到y dxdt −x dydt =x2+ y2，即x dydt −y dxdt =−(x2+ y2)，亦即d(arctan yx)dt=−1。积分得arctan yx +t=C2，（1.6）其中为积分常数。利用首次积分（1.5）和（1.6）可以确定（1.4）的通解。为此，采纳极坐标，这样由（1.5）和（1.6）推得或r=1√1−C1e−2t ,θ=C2−t.因此我们得到方程组（1.4）的通解为x=cos (C2−t )√1−C1 e−2 t，y=sin(C2−t )√1−C1e−2t. （1.7）例 2 求解微分方程组 （1.8）其中是给定的常数。解 利用方程组的对称性，可得精品文档---下载后可任意编辑,从而得到首次积分, （1.9）其中积分常数。同样我们有,由此又得另一个首次积分, （1.10）其中积分常数。有了首次积分（1.9）和（1.10），我们就可以将 u 和 v 用 w 表示，代入原方程组（1.8）的第三式，得到,（1.11）其中常数 a，b 依赖于常数，而常数注意（1.11）是变量可分离方程，分离...