两角和差正余弦公式的证明

精品文档---下载后可任意编辑两角和差正余弦公式的证明 两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。 下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。 由角 , 的三角函数值表示 的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。 换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将 或 与 , 的三角函数联系起来。 根据诱导公式 , 由角 的三角函数可以得到 的三角函数。 因此 , 由和角公式容易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。 又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。 因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。(一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示 , 和 , 而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系 与 , 的三角函数值的等式。 1. 和角余弦公式 (方法 1) 如图所示, 在直角坐标系 中作单位圆 , 并作角 , 和 , 使角 的始边为 , 交 于点 A, 终边交 于点 B；角 始边为 , 终边交 于点 C；角 始边为 , 终边交 于点。从而点 A, B, C和 D 的坐标分别为, ,,。由两点间距离公式得 ；。注意到 , 因此。注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的 和 为任意角。 2. 差角余弦公式 仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是 (方法 2) 如图所示, 在坐标系 中作单位圆 , 并作角 和 , 使角 和 的始边均为 , 交 于点 C, 精品文档---下载后可任意编辑角 终边交 于点 A,角 终边交 于点。从而点 A, B 的坐标为,。 由两点间距离公式得 。由余弦定理得 。从而有。 注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 是三角形的内角。 因此, 还需要补充讨论角 和 的终边共线, 以及 大于 的情形。容易验证 , 公式在以上情形中依旧成立。 在上边的证明中 , 用余弦定理计算 的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。(二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式 除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中...