数学建模试验报告(四)姓名学号班级问题：(微分方程)讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系.(1)若国民平均收入 x 与按人口平均资金积累 y 成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率 k 大于人口的相对增长率 r 时，国民平均收入才是增长的.(2) 作出 k(x)和 r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果.问题的分析和假设：问题分析：人口增长与国民收入增长的关系决定人均国民收入指标的变化，人均国民收入与人口增长成反比，与国民收入增长成正比。总资金增长与人口增长都满足指数增长，由题意知：国民平均收入与人口平均资金积累成正比，设此比例系数为 a。在国家统计局网站查询得：2012 年，我国大陆总人口数为 134735 万人，总资金(国内生产总值)总里为 47.1564 万亿兀，则 a 的值约为 1。问题假设：x1(t)为 t 时刻总资金积累量 x2(t)为 t 时刻的人口数量 x3(t)为 t 时刻国民平均收入量 Y(t)为人口平均资金积累 k 为总资金的相对增长率 r 为人口的相对增长率kxi；由上述公式，微分dx3(t)dt=a・(k-所以当 k>r 时，国民收入 Ax>0,x(t)增加，即国民平均收入增加。列微分方程如下：仝=k・x、dtdx22=r・x^dx()dt=a・(k—建模：由分析及假设可列出如下方程：一定时期后，增长的人口数量为：x2=rx2;总资金增长量为 x1由题意知：x3(t)=axY(t)Y(t)=x 丄 t);x2(t)求解的 Matlab 程序代码：建立・M 文件，lab4・m,如下：functiondx=lab4(t,x)dx=zeros(3,1);k=0.093;r=0.00479;a=1;dx(1)=k*x(1);dx(2)=r*x(2);dx(3)=a*(k-r)*x(3);主程序：［t,x］=ode45('lab4',［20112100］,［134735471564000034999.37］);figure(1),plot(t,x(:,1),'k*')xlabel('时间［年］'),ylabel('总资金积累量［亿元］')figure(2),plot(t,x(:,2),'m-')holdonxlabel('时间［年］'),ylabel('人口总数')figure(3),plot(t,x(:,3),'r+')holdonxlabel('时间［年］'),ylabel('国民平均收入量')计算结果与问题分析讨论：由题意和模型分析知：国民收入量呈指数增长，增长率为（k-r）,则当 k>r 时，国民平均收入量才会呈现增长趋势。总资金积累量随时间变化的图像：201FileEditView［nsertToolsDesktopWindDWHelp□Q 昌⑥ K乜 I 塩□LaH□x10：4-滞 I巾 l|l*11120202030204C205020602070208020902100时间［年］人口总数随时间变化的图像:Figure问题分析：(1)由图像可以看出：总资金积累的相对增长率 k 大于人口的相对增长率 r 时，国民平均收入是增长的(2)当人口激增时，在一定程度上，人口平均资金积累和国民平均收入都会减少，人们的生活水平会下降，国家应实施宏观调控，来控制人口增长，以保证人民的生活水平进一步提咼。
