向量法求空间角 专题练习题VIP专享VIP免费

ABCDPQ向量法求空间角1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．DBACOEP3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知平面,,△是正三角形,,且是的中点.（1）求证:平面;（2）求证:平面平面;（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点．（1）求证:平面;（2）求平面和平面的夹角.HPGFEDCBA5．如图，在直三棱柱中，平面侧面且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线AC与平面所成的角为,求锐二面角的大小.6．如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.参考答案1．（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设，则，，，，则可表示出，，，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由，，故，，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于平面，所以可取平面的一个法向量为；设平面的一个法向量为，则，，故即取，则，故，转化为两个法向量的夹角，设与的夹角为，则．即可求出平面与平面所成的锐二面角的大小.试题解析：（1）由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．设，则，，，，故，，，因为，，故，，即，，又所以，平面．（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量为，点的坐标为，则，，设平面的一个法向量为，则，，故即取，则，故．设与的夹角为，则．所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系2．（1）;（2）;（3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置.【解析】试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝，设AB＝a，则AO＝a，PO＝a，MO=,tan∠PMO＝,∠PMO＝60°;（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故为直角三角形，OE＝PD＝＝a∴tan∠AEO＝＝；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG//FE,EF⊥平面PBC,F是AD的4等分点，靠近A点的位置.试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角（2分） PO⊥面ABCD，MDBACOEP∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．∴tan∠PAO＝设AB＝a，AO＝a，∴PO＝AO·tan∠POA＝a，tan∠PMO＝＝．∴∠PMO＝60°．（4分）（2）连接AE，OE， OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．（6分） AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE平面PBD，∴AO⊥OE． OE＝PD＝＝a，∴tan∠AEO＝＝．（8分）（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG． BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN∴平面PMN⊥平面PBC．（10分）MDBACOEPMDBACOEPNGF又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．（12分）F是AD的4等分点，靠近A点的位置（13分）考点：立体几何的综合问题3．（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP||DE，且且FP=，而AB||DE，且AB=则ABPF为平行四边形，则AF||BP，AF平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据AB平...