二重积分的概念与性质

yxODAyxOD精品文档---下载后可任意编辑第一节 二重积分的概念与性质教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义; 二重积分存在的条件.熟练掌握二重积分的性质;能正确运用性质进行推断、计算与证明.重点: 二重积分的性质.难点: 运用性质推断与计算.教学方法:直观教学,讲练结合.教学过程:一、 二重积分的概念1、【定义】:设f ( x, y)是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域Δσ 1，Δσ 2, ⋯，Δσ n ，其中Δσ i 表示第个小闭区域，也表示它的面积，在每个Δσ i 上任取一点(ξi,ηi)，作乘积f (ξi,ηi)Δσ i ，(i=1,2,⋯,n)，并作和∑i=1nf (ξi,ηi)Δσ i，假如当各小闭区域的直径中的最大值时，这和式的极限存在，且此极限与小区间Δσ i 的分法以及点(ξi,ηi)的取法无关，则称此极限为函数f ( x, y)在闭区域上的二重积分，记为∬Df (x , y)dσ，即∬Df (x , y)dσ =limλ→0∑i=1nf (ξi,ηi) Δσi.其中：①f ( x, y)称为被积函数, ②f ( x, y)dσ 称为被积表达式,③x , y 称为积分变量, ④ 称为面积元素, ⑤ 称为积分区域, ⑥∑i=1nf (ξi,ηi)Δσ i称为积分和.2、面积元素在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,则面积元素为 dσ=dxdy故二重积分可写为 ∬Df (x , y)dσ=∬Df ( x , y)dxdy.3、【二重积分存在定理】 设f ( x, y)是有界闭区域上的连续函数,则存在二重积分∬Df (x , y)dσ.4、二重积分的几何意义(1)当被积函数时,二重积分∬Df (x , y)dσ表示以f ( x, y)为顶,以为底面的曲顶柱体的体积．(2)当被积函数时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域上连续.1．∬Dkf (x , y)dσ=k∬Df (x , y)dσ, 为常数.2．∬D[f (x , y)±g(x , y)]dσ =∬Df (x , y)dσ±∬Dg( x , y )dσ.设为常数则上述两式合并为.3．(二重积分对区域可加性)∬Df (x , y)dσ=∬D 1f ( x, y)dσ+∬D2f ( x , y)dσ,( D=D1+D2 ).4．∬Ddσ=σ, 为的面积.5．(积分不等式)若f ( x, y)≤g( x, y ),则∬Df (x , y)dσ≤∬Dg( x, y)dσ.推论: |∬Df (x , y)dσ|≤∬D|f (x, y)|dσ.6．(积分估值定理)设、分别是f ( x, y)在闭区域上的最大值和最小值，则 mσ≤∬Df ( x , y)dσ≤Mσ.7．(积分中值定理)设函数f ( x, y)在闭区域上连续，则在上至...