优化设计的数学基础

精品文档---下载后可任意编辑一 等值（线）面目标函数是 n 维变量的函数，它的函数图像只能在 n+1 维空间中描述出来。为了在 n 维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采纳目标函数等值面的方法。 对于可计算的函数 f(x)，给定一个设计点 X(k)，f(x)总有一个定值 c 与之对应；而当 f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)（i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为等值面。即具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。目标函数 F(x)的等值面（线）数学表达式为：F(x)=C当 c 取 c1,c2, …等值时，就获得一族曲面族，称为等值面族。等值线的“心”（以二维为例）一个“心”：是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点。没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为极值点在无穷远处。多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。等值线的形状：同心圆族、椭圆族，近似椭圆族；严重非线性函数——病态函数的等值线族是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲线族。等值线的疏密：沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线疏的方向，函数值变化慢。等值线的疏密定性反应函数值变化率。二 方向导数与梯度1 方向导数二元函数在点 x0处沿某一方向 s 的方向导数方向导数是偏导数概念的推广。方向导数与偏导数之间的数量关系是n 元函数在点 x0处沿 s 方向的方向导数2 梯度二元函数的梯度▽F(x0)为函数 F(x1，x2)在 x0点处的梯度。设s 方向和梯度方向重合时，方向导数值最大。梯度的模：设 为单位向量Ox2x1x10x20x0x1x2sxS12精品文档---下载后可任意编辑 则有梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的模就是函数变化率的最大值。多元函数的梯度梯度▽F(x0)的模函数的梯度方向与函数等值面相垂直，也就是和等值面上过 x0的一切曲线相垂直。由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一种局部性质。梯度两个重要性质：（搜索方向问题）性质一：函数在某点的梯度不为零，则必与过该点的等值面垂直；性质二：梯度方向是函数具有最大变化率的方向。例题 1：求函数在点[3,2]T 的梯度。解：在点 x(1)=[3,2]T处的梯度为：例 2：试求目标函数 在点处的最速下降方向，并求沿这个方向移动一单位长度后新...