伴随矩阵的若干性质及应用

精品文档---下载后可任意编辑摘要矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般 n 阶方阵和某些特别矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用讨论矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单.关键词 矩阵伴随矩阵 特征值引言因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中常常出现，把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来讨论.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特别矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.本文出现的矩阵和均为阶方阵.1.一般阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用1.1 AA¿=A¿ A=|A|E ,在求解与的乘积，和A−1的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下：当为可逆矩阵时，也为可逆矩阵，由AA¿=A¿ A=|A|E 可得( A¿)−1= A|A|；当为可逆矩阵时，由AA¿=A¿ A=|A|E 可得A¿=|A|A−1；例 1、已知为一三阶矩阵，且A=(142013001)，求( A¿)−1.解 经计算可得|A|=1，所以( A¿)−1= A|A|=A=(142013001).例 2、已知为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为，且|A|=14 ，求|(2 A)−1−3 A¿|.解|(2 A)−1−3 A¿|=|12 A−1−3|A|A−1|=|12 A−1−34 A−1|=|−14 A−1|=(− 14)3|A−1|=(−14)3 1|A|=− 116 .例 3、已知和均为阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为和，分块矩阵C=(AOOB)，求的伴随矩阵.解 由CC¿=C¿C=|C|E 得，C¿=|C|C−1=|AOOB|(AOOB)−1=|A||B|(A−1OOB−1)=(|A||B|A−1OO|A||B|B−1).1.2 当为可逆矩阵时，有( A¿)−1=(A−1)¿ 证明 因为 AA¿=|A|E,故有 A−1( A−1)¿=|A−1|E ，A−1= A¿|A|；又因为|A−1|= 1|A|从而 A−1( A−1)¿= A¿|A|( A−1)¿=|A−1|E= 1|A|E，因|A|≠0，故A¿( A−1)¿=E , 所以( A¿)−1=(A−1)¿.例 4、已知为一三阶可逆矩阵，且A−1=(123211132)，求伴随矩阵的逆矩阵.㈠解 因为A¿ A=AA¿=|A|E ，且为可逆矩阵，可得( A¿)−1= A|A|=|A−1|A，而|A−1|=|123211132|=8，A=( A−1)−1=18(−15−1−3−155−1−3),所以( A¿)−1=(−15−1−3−155−1−3).精品文档---下载...