最短路径问题专题学习【基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．连AB，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．作B关于l的对称点B＇连AB＇，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB＇．【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题4】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．分别作点Q、P关于直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线∥，在、，上分别求点M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小．将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交于点N，过N作NM⊥于M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．l1l2PQmnABMN【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小．将点A向右平移个长度单位得A＇，作A＇关于的对称点A＇＇，连A＇＇B，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇＇B+MN．【问题7】作法图形原理在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小．作点P关于的对称点P＇，作P＇B⊥于B，交于A．点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值为线段P＇B的长．【问题8】作法图形原理A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小．作点A关于的对称点A＇，作点B关于的对称点B＇，连A＇B＇交于M，交于N．两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最小．连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0．【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大．作B关于l的对称点B＇作直线AB＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇．最大值＝AB＇．laABMNl2l1ABNM【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D．2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）A．2B．C．D．43．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（）A．120°B．130°C．110°D．140°4．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），且ED＝AE，则线段AE的取值范围是．6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(，0)．OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______．ADEPBCDABCMNCADBMN第2题第3题第4题第5题第6题第7题8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在轴上，D在轴上，则四边形ABCD的周长最小值为，此时C、D两点的坐标分别为．9．已知A（1，1）、B（4，2）．（1）P为轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；（2）P为轴上一动点，求的值最大时P点的坐标；（3）CD为轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；10．点C为∠AOB内一点．（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．yxBOACDyxBOAyxBOAyxBAO
