不等式的恒成立问题 高中测试题VIP专享VIP免费

不等式的恒成立问题在高中阶段，不等式的恒成立问题是考题中常见的重要题型，但学生尽管训练了一遍又一遍，一到考试又会遇到这样那样的问题。现对这个问题，由例析浅谈一下自己的观点。例1.已知函数的定义域R，求实数a的取值范围。解：要使函数有意义，则①∵定义域为R∴①恒成立。.当即时不满足题意时恒成立.或.当时，二次函数不可能恒大于0由可知：或结论：Ⅰ.形如①对任意恒成立可讨论两种情况：Ⅱ.形如②对任意恒成立可讨论两种情况：只要是形如二次函数的不等式在R上的恒成立问题，都可引用此种方法（判别式法）。例2.已知函数对任意，恒成立，求实数a的取值范围。解：法一：分离变量法要使恒成立只需恒成立即法二：应用函数法令要使恒成立只需在的最小值大于或等于0。结论：只要是不等式在变量的某一区间内（除R上）的恒成立问题，均可用分离变量法或应用函数法。分离变量法：把两变量分离到不等式的两边，且把未知范围的变量写到不等式的左边，转变为形如：或。应用函数法：把不等式看成已知范围的变量的函数，另一变量暂看作已知数，转变为或恒成立，仅需或，转化成求出的最值问题。例3.已知不等式（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围。（2）若对于不等式恒成立，求实数x的取值范围。解（1）此题是形如二次函数的的不等式且对都成立，所以采用判别式法。原不等式可化简为.当时,不对任意实数成立..当时,无解由得：m无解（3）变量，则可用分离变量法或应用函数法。法一：分离变量法：当即或时恒成立又即又或当即或（Ⅰ）当时恒成立（Ⅱ）当时不成立当即时恒成立又即或又由知：法二：应用函数法令仅需得：若同学们对这类题的特征及作法熟练掌握住,无论它形式上怎么变,我们都能应对自如.练习:①若对于任意的实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.提示:方法一：ⅰ.当时,显然成立.ⅱ.当＞0时,k≤恒成立k≤1ⅲ.当＜0时,k≥k≥0.由ⅰ.ⅱ.ⅲ.0≤k≤1方法二:令函数,仅需前个函数图像永在后个函数图像的上方.解得0≤k≤1②若不等式,对任意恒成立,求实数的取值范围.提示:令,原不等式转化为函数在恒成立的问题.解得.③当n>1且时,求证恒成立.提示:令函数,求其最小值.