图 1GCFBAEDEDCBA精品文档---下载后可任意编辑利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。1、如图 1，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交 AD 于点 F，且 AE＝EF．试说明线段 AC 与 BF 相等的理由．简析 由于 AD 是中线，于是可延长 AD 到 G，使 DG＝AD，连结 BG，则在△ACD 和△GBD 中，AD＝GD，∠ADC＝∠GDB，CD＝BD，所以△ACD≌△GBD（SAS），所以 AC＝GB，∠CAD＝∠G，而 AE＝EF，所以∠CAD＝∠AFE，又∠AFE ＝∠BFG，所以∠BFG＝∠G，所以 BF＝BG，所以 AC＝BF．说明 要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形．利用三角形的角平分线来构造全等三角形法一：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC。在 AB 上截取 AE=AC，连结 DE。（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。） 法二：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC。延长 AC 到 F，使 AF=AB，连结 DF。(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。)法三：在△ABC 中，AD 平分∠BAC。作 DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 于 N。( 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形 ) （还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证 DM=DN）2、已知：如图，在四边形 ABCD 中，BD 是∠ABC 的角平分线，AD=CD，求证：∠A+C=180°∠法一：证明：在 BC 上截取 BE，使 BE=AB，连结 DE。 法二：延长 BA 到 F，使 BF=BC，连结 DF。 BD 是∠ABC 的角平分线（已知） BD 是∠ABC 的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义） ∴∠1=∠2（角平分线定义）在△ABD 和△EBD 中 在△BFD 和△BCD 中 AB=EB（已知） BF=BC（已知）∠1=∠2（已证） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） BD=BD（公共边）∴△ABD≌△EBD（） ∴△BFD≌△BCD（）∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等）DF=DC（全等三角形的对应边相等） AD=CD（已知），AD=DE（已证） AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DE=DC（等量代换）∴DF=AD（等量代换）∴∠4=∠C（等边对等角） ∴∠4=∠F（等边对等角） ∠3+ ∠4＝180° （平角定义）， ∠F＝∠C（已证）∠A＝∠3（已证） ∴∠4=∠C（等...
