HMNGPOAB图 1AEDCB图 2O●FPDEACB3(1)●PDEACB3(2)OF精品文档---下载后可任意编辑例 1(2000 年·上海)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为 G.(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?假如有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设 PH=x ,GP= y ,求关于的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量的取值范围).(3)假如△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长.解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO、GP、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=23 NH=23⋅12OP=2.(2)在 Rt△POH 中, OH=√OP2−PH 2=√36−x2, ∴MH=12 OH=12 √36−x2.在 Rt△MPH 中,.∴=GP=23 MP=13 √36+3 x2 (0<<6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,13 √36+3 x2=x,解得x=√6 . 经检验,x=√6 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时,13 √36+3 x2=2,解得x=0 . 经检验,x=0 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,x=2 .综上所述,假如△PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为或 2.二、应用比例式建立函数解析式 例 2（2024 年·山东）如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD=CE=. (1)假如∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定与之间的函数解析式； (2)假如∠BAC 的度数为,∠DAE 的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中, AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB∽△EAC, ∴ABCE = BDAC ,∴1y =x1 , ∴y=1x .(2)由于∠DAB+∠CAE=β−α ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=90°−α2 ,且函数关系式成立,∴90°−α2 =β−α , 整理得β−α2=.当β−α2=时,函数解析式y=1x 成立.例 3(2024 年·上海)如图 3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°⊥ED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F.(1)求证: △ADE∽△AEP.(2)设 OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长.解:(1)连结 OD.根据题意,得 OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由 OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP.(2) ∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5...
