插值与曲线拟合论文

精品文档---下载后可任意编辑摘要本文讨论了插值函数的基本概念及线性插值和多项式插值存在唯一性.主要介绍了基于基函数的拉格朗日插值、基于均差的牛顿插值和基于导数埃尔米特插值及三次及基于最小二乘拟合的多项式插值和正交多项式插值.关键词拉格朗日插值牛顿插值曲线拟合最小二乘法1 引 言函数常被用来描述客观事物变化的内在规律（数量关系）.但在生产和科研实践中遇到的大量函数,却是复杂函数.对于实际中的这些复杂函数,我们希望能构造一个能反映函数本身的特性,又便于计算的简单函数,近似代替原来的函数.解决上述问题的方法有两类:一类是对于一组离散点(xi,f (xi)),(i=0,1,2,⋯,n),选定一个便于计算的函数形式p( x),如多项式函数、分段性函数、有理函数、三角函数等,要求简单函数p( x)满足p( xi)=f (xi),(i=0,1,2,⋯,n).由此确定函数p( x)作为f ( x) p( x)的形式时,不要近似函数p( x)必须满足p( xi)=f (xi),(i=0,1,2,⋯,n),而只要在某种意义下(最小二乘法原理),使近似函数p( x)在这些点上的总偏差量最小,这类方法称为曲线拟合.2 插值问题与插值多项式定义 1 设y=f ( x)为区间[a,b]上函数，x0, x1,⋯, xn为[a,b]上n+1 互不相同的点，为给定的某一函数类，若上有函数ϕ( x)，满足ϕ( xi)=f (xi),i=0,1,2,⋯,n.则称ϕ( x)为f ( x)关于节点x0, x1,⋯, xn在上的插值函数，称点x0, x1,⋯, xn为插值节点；称( xi,f ( xi),i=0,1,2,⋯,n 为插值型值点，简称型值点或插值点;f ( x)称为被插函数.定义 2 已知函数f ( x)在区间[a,b]上的n+1 个点的值，即已知xi∈[a ,b ]，寻求一个解析形式的函数ϕ( x)，使之满足ϕ( xi)=yi,i=0,1,2,⋯,n.则称为插值结点,f ( x)为被插值函数，ϕ( x)为插值函数，称条件ϕ( xi)=yi(i=0,1,2,⋯,n)为插值条件，若ϕ( x)为次数不超过的多项式，即pn( x)=ϕ( x)，则pn( x)=a0+a1 x+a2 x2+⋯+an xn.其中ai(i=0,1,⋯,n)为实数，则称pn( x)为插值多项式.定理 1 在n+1 个相异结点xi(i=0,1,⋯,n)满足插值条件p( xi)=yi(i=0,1,⋯,n)而次数不高于的多项式p( x)是唯一的.2.1 拉格朗日插值多项式给定(xi, yi)(i=0,1,⋯,n)，构造次数不超过的拉格朗日插值多项式Ln(x )=∑i=0nli( x) f ( xi)=∑¿n¿n¿¿.称Ln(x )为f ( x)关于x0, x1,⋯, xn的次拉格朗日插值多项式，它满足Ln(xi)=f ( xi),i=0,1,⋯,n.其中li( x)称为x0, x1,⋯, xn为结点的次插值函...