数值分析答案

精品文档---下载后可任意编辑习题二2-1 已知 y=f(x)的数值如下：(1) x0123y2312147(2)x-2-101y154524求 Lagrange 插值多项式并写出截断误差。解：(1)L3(x )= ( x−x1)( x−x2)(x−x3)( x0−x1)( x0−x2)( x0−x3) f (x0)+ ( x−x0)( x−x2)( x−x3)( x1−x0)( x1−x2)( x1−x3) f ( x1)+ ( x−x0)( x−x1)( x−x3)( x2−x0)( x2−x1)( x2−x3) f ( x2)+ ( x−x0)( x−x1)(x−x2)( x3−x0)( x3−x1)( x3−x2) f ( x3)=(x−1)(x−2)(x−5)(−1)(−2)(−5)×2+ x(x−2)(x−5)(1−2)(1−5) ×3+ x(x−1)(x−5)2(2−1)(2−5)×12+ x(x−1)(x−2)5(5−1)(5−2)×147=x3+ x2−x+2R3( x)= 124 x( x−1)( x−2)( x−5)f (4 )(ξ), 0<ξ<5(2)L3(x )= ( x−x1)( x−x2)(x−x3)( x0−x1)( x0−x2)( x0−x3) f (x0)+ ( x−x0)( x−x2)( x−x3)( x1−x0)( x1−x2)( x1−x3) f ( x1)+ ( x−x0)( x−x1)( x−x3)( x2−x0)( x2−x1)( x2−x3) f ( x2)+ ( x−x0)( x−x1)(x−x2)( x3−x0)( x3−x1)( x3−x2) f ( x3)=(x+1)x(x−1)(−2+1)(−2)(−2−1)×15+(x+2)x(x−1)(−1+2)(−1)(−1−1)×4+(x+2)(x+1)(x−1)2(−1)×5+(x+2)(x+1)x(1+2)(1+1) ×24=x3+9 x2+9 x+5R3( x)= 124 ( x+2)( x2−1) xf( 4)( ξ), −2<ξ<12-2 已知函数 lnx 的如下数据x8101214y试分别用 Lagrange 线性插值和二次插值计算 ln(11.85)的近似值，并估量它的截断误差。解：线性插值公式：L1( x)= x−x1x0−x1f ( x0)+ x−x0x1−x0f ( x1)当 x=11.85 时，L1(11.85)= x−1210−12 ×2.30259+ x−1012−10 ×2.48491=2.47124|R1(x)|=| 12 x2(11.85−10)(11.85−12)|≤1.3875×10−3二次插值：L2( x )= ( x−x1)( x−x2)( x0−x1)( x0−x2) f ( x0)+ ( x−x0)( x−x2)( x1−x0)( x1−x2) f ( x1)+ (x−x0)( x−x1)( x2−x0)( x2−x1) f ( x2)=0.15×2.152×4×2.30259+1.85(−2.15)2×(−2)×2.48491+1.85(−0.15)4×2×2.63906=2.47221误差估量：|R2(x)|≤| 13 x3×(11.85−10)(11.85−12)(11.85−14)|≤1.98875×10−4。2-3 设x0, x1,⋯, xn为任意给定的 n+1 个互不相同的节点，证明：(1) 若 f(x)为不高于 n 次的多项式，则 f(x)关于这组节点的 n 次插值多项式就是它自己。(2) 若li(x) (i=0, 1, ⋯, n)是关于这...