数列典型例题讲解

精品文档---下载后可任意编辑（一）讨论等差等比数列的有关性质1. 讨论通项的性质例题 1. 已知数列满足. （1）求；（2）证明：.解：（1）. （2）证明：由已知，故，所以证得. 例题 2. 数列的前项和记为（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求. 解：（Ⅰ）由可得，两式相减得：，又∴故是首项为 1，公比为 3 的等比数列∴（Ⅱ）设的公比为，由得，可得，可得故可设，又，由题意可得，解得 等差数列的各项为正，∴∴∴例题 3. 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且对任意的都成立，数列是等差数列. ⑴ 求数列与的通项公式；⑵ 是否存在，使得，请说明理由. 点拨：（1）左边相当于是数列前 n 项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，. （2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来讨论的取值情况. 解：（1）已知…）①时，…）②①－②得，，求得，在①中令，可得得，所以N*）. 由题意，，，所以，，∴数列的公差为，∴，）. （2），当时，单调递增，且，所以时，，又，所以，不存在，使得. 例题 4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且 a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项 an，bn解：依题意得：2bn+1 = an+1 + an+2①a2n+1 = bnbn+1② a n、bn为正数，由②得，代入①并同除以得：，∴为等差数列 b 1 = 2 ， a2 = 3 ，，∴，∴当 n≥2 时，，又 a1 = 1，当 n = 1 时成立，∴2. 讨论前 n 项和的性质例题 5. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）时，.而为等比数列，得，又，得，从而.又.}{na1111,3(2)nnnaaan32,aa312nna21231,3 14,3413aaa   113  nnnaa)()()(12211aaaaaaannnnn12131333 12nnna  312nna na11,1,21(1)nnnS aaSn na nb315T 112233,,ab ab ab121nnaS 121(2)nnaSn112,3(2)nnnnnaaa aa n21213aS 213aa na13nna nb315T 12315bbb25b 135,5bd bd  1231,3,9aaa2(51)(59)(53)dd122,10dd nb0d 2d 2(1)3222nn nTnnn ...