数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题

精品文档---下载后可任意编辑一、知识要点1 数列极限的定义：一般地，假如当项数无限增大时，无穷数列{an}的项无限趋近于某个常数（即|an－a|无限地接近于 0），那么就说数列{an}以为极限记作．（注：a 不一定是｛an｝中的项）2 几个重要极限：（1）limn→∞1n=0（2）limn→∞C=C（C 是常数）（3）limn→∞an=¿{0 (|a|<1)¿{1, (a=1)¿¿¿¿（4）limn→∞a0nt+a1nt−1+⋯+at−1n+atb0ns+b1ns−1+⋯+bs−1n+bs=¿{0 (s>t)¿{a0b0(s=t)¿¿¿¿3.数列极限的运算法则:假如limn→∞an=A , limn→∞bn=B,那么limn→∞(an+bn)=A+B limn→∞(an−bn)=A−Blimn→∞(an.bn)=A .B limn→∞anbn= AB ( B≠0)4．无穷等比数列的各项和⑴ 公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和，当 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做⑵二、方法与技巧⑴ 只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.⑵ 运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参加运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）⑶ 求数列极限最后往往转化为1nm (m ∈N )或qn(|q|<1)型的极限.⑷ 求极限的常用方法：① 分子、分母同时除以或.② 求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限.③ 利用已知数列极限（如limn→∞qn=0 (|q|<1), limn→∞1n=0⋯等）.④ 含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.∞⑤ －∞,∞∞ ,0－0,00 等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解例 1 求下列式子的极限：①limn→∞(−1)n√n； ②limn→∞3n2+2n+1n2+1； ③limn→∞2n+1n2+1 ； ④limn→∞2n2+n+75n2+7; （2）limn→∞ （√n2+n－n）;（3）limn→∞ （2n2 +4n2+…+2nn2 ）例 2limn→∞ an=A , limn→∞bn=B是limn→ ∞(an+bn)=A+B的（ ）A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件例 3 数列{an}和{bn}都是公差不为 0 的等差数列，且limn→∞anbn =3,求limn→∞a1+a2+⋯+annb2 n的值为例4求limn→∞an−a−nan+a−n （a>0);例5已知limn→∞( n2+1n+1 −an−b)=1,求实数 a,b 的值;例6已知等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,且有limn→∞ （a11+q －qn）=12 ,求 a1的取值范围例 7 已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足 lgan＝lgan－1＋lgc，其中 n 是大于 1 的整数，c 是正数．（1）求数列｛an｝的通...