数学必修二重点知识例题

ABC D E F GM O 精品文档---下载后可任意编辑【例 2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.解：.【例 4】如图中，正方体 ABCD—A1B1C1D1，E、F 分别是 AD、AA1的中点.（1）求直线 AB1和 CC1所成的角的大小；（2）求直线 AB1和 EF 所成的角的大小.解：（1）如图，连结 DC1 ， DC1∥AB1，∴DC1 和 CC1所成的锐角∠CC1D 就是 AB1和CC1所成的角. ∠CC1D=45°， ∴AB1 和 CC1所成的角是 45°.（2）如图，连结 DA1、A1C1， EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线 AB1和 EF 所成的角.Δ A1DC1是等边三角形， ∴∠A1DC1=60º，即直线 AB1和 EF 所成的角是 60º.【例 1】已知空间边边形 ABCD 各边长与对角线都相等，求异面直线 AB 和 CD 所成的角的大小. 解：分别取 AC、AD、BC 的中点 P、M、N 连接 PM、PN，由三角形的中位线性质知 PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN 就是异面直线 AB 和 CD 成的角（如图所示）.连结 MN、DN，设 AB=2， ∴PM=PNAN=DN=，由MN⊥AD，AM=1，得 MN=，∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°.∴异面直线 AB、CD 成 90°角.【例 2】在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别为棱 BC、C1D1的中点. 求证：EF∥平面BB1D1D.证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE，则 OE∥DC， OE=DC. DC∥D1C1， DC=D1C1 ， F 为 D1C1的中点，∴OE∥D1F， OE=D1F， 四边形 D1FEO 为平行四边形. ∴EF∥D1O. 又 EF 平面 BB1D1D， D1O 平面 BB1D1D， ∴EF∥平面 BB1D1D.【例 3】如图，已知、、、分别是四面体的棱、、、的中点，求证：∥平面. 证明：如右图，连结，交于点，连结，在中，、分别是、中点， ∴， 为中点， ∴为中点，在中， 、为、中点， ∴，又 平面，平面， ∴∥平面.点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例 4】如图，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 AB、PC的中点（1）求证：MN//平面 PAD；（2）若，，求异面直线 PA 与MN 所成的角的大小.解：（1）取 PD 的中点 H，连接 AH，由 N 是 PC 的中点， ∴NH. 由 M 是 AB的中点， ∴NHAM， 即 AMNH 为平行四边形. ∴. 由， ∴.（2） 连接 AC 并取其中点为 O，连接 OM、ON，∴OMBC，ONPA， 所以就是异面直线 PA 与 MN 所...