数学物理方程积分变换法

精品文档---下载后可任意编辑积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法. 不仅如此，在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用. 本章介绍 Fourier 变换在求解偏微分方程定解问题中的应用. 主要以一维热传导方程，一维波动方程及平面上的 Laplace 方程为主. 对于高维情形，由于计算过程要复杂一些，故只做简单介绍，也不做过多要求. §41 热传导方程 Cauchy 问题 4. 一维热传导方程 Cauchy 问题考虑如下问题下面利用 Fourier 变换求解该定解问题. 设为常数，函数的 Fourier 变换为(1.3)为书写方便起见，引入记号, 假如为二元函数，表示对中的空间变量作 Fourier 变换的像函数，此时作为参数对待.对（1.1）—（1.2）关于空间变量作 Fourier 变换得上面是一阶线性常微分方程的初值问题，解之可得(1.4)利用（1.3）得 记 （1.5）其中为单位阶跃函数. 则有利用上面结果将（1.4）改写为(1.6)对（1.6）两边取 Fourier 逆变换，并利用 Fourier 变换卷积公式便得(1.7)（1.7）即为定解问题（1.1）—（1.2）的解.在的表达式（1.7）中，函数起着一个基本作用. 假如令，，则有因此，是如下问题的解而和分别是下面两问题的解由于知道了就可直接写出（1.1）—（1.2）的解（1.7）式. 类似于求解线性方程组，其中为矩阵. 假如知道该齐次方程组的一个基解组，则方程的任一解可由基解组的线性组合表出. 因此，的作用就相当于向量空间中的基，故称为定解问题（1.1）—（1.2）的基本解(fundamental solution).基本解是线性微分方程的一个很重要的概念，不仅可以表示 Cauchy 问题的解，也可用来构造 Green 函数表示边值问题的解.2( , ), , 0 (1. 1)( ,0)( ), (1. 2)txxua uf x txtu xxx      02xe 224( )xF eeˆ( )( ( ))( ),fF f x),(txf),))(,((),(ˆttxfFtf),(txf22ˆ( , )ˆˆ( , )( , ), 0ˆˆ( ,0)( ) .dutautfttdtu 2222 ()0ˆˆˆ( , )( )( , )tatatutefed  ),)( 21(22224tetaFetaxta),)()(21()(4)(2222tetaFetaxta2241Γ( , )( )2xa tx teu ta πt)(tu22ˆ( ( , ))( )( , )ateFx tt22 ()ˆ( ( ,))( )( ,)ateFx tt...