例谈复合函数的教学要点复合函数是中学数学教学中经常遇到的一类函数.纵观近十年的高考数学试题，复合函数已成为高考命题的热点.事实上，学好复合函数对深化函数概念，提高学生综合运用函数思想解决数学问题具有重要意义.但高中数学课本中没有对复合函数作全面的介绍，教师虽然就题论题点点滴滴地介绍了一些复合函数的有关知识，但大多数高中学生尤其是高一学生还是感到茫然.因此，在复合函数的教学过程中，教师很有必要对复合函数中有关高考要求的知识点，加以归纳、整理、使之系统化，从而对学生比较全面地掌握复合函数有重要作用.1、对复合函数概念的理解，要把握：“内、中、外”几个环节要全面扎实地学习掌握复合函数的系列知识，首先要正确理解复合函数的基本概念，这是进行复合函数教学的基本前提.那么，教师如何帮助学生正确理解复合函数的定义呢？笔者认为，关键要引导学生把握“内、中、外”几个环节.我们都知道，复合函数定义为：如果是的函数，而又是的函数，即和，那么关于的函数叫做函数和的复合函数，可见,复合函数的定义中包括两个函数，两个自变量，我们不妨将叫做复合函数的“内函数”，叫做复合函数的“外函数”，叫做“中间变量”.如函数是由指数函数(“外函数”)和一次函数(“内函数”)复合而成的，中间变量是.只有把握住这三个基本环节，学生理解复合函数的定义时才能有序而全面,有助于培养其有条不紊的思维习惯.2、对复合函数定义的求解，要由此及彼，协同完成函数是由和两函数复合而成，从形式来看，这里有三个自变量﹕，而哪个自变量是复合函数的自变量，又如何去求复合函数的定义域呢？这往往是学生初学复合函数时易混淆的地方.鉴于此，笔者认为，要求解复合函数的定义域，首先应搞清楚复合函数的构成要素(自变量、对应法则、因变量)，在此基础上，明确复合函数的自变量是什么？然后依据它们之间的内在联系，结合不等式的有关性质求复合函数自变量的取值范围.即应把握“由此及彼，协同完成”的原则求复合函数自变量的取值范围.具体做法可叙述为﹕如果把函数的定义域记为，值域记为，函数的定义域记为，值域记为，那么只有当时，两个函数才能复合，其复合函数的定义域是在中的原象集，记为M.求复合函数的定义域的方法是，从满足的不等式求出相应的集合.例1设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为（）(A)(0,1)(B)(1，)(C)(D)解析已知的定义域是，欲求的定义域，即要求满足的取值范围.而已知的定义域是，指的是。这样本题中有，从而，所以选(B).例2求复合函数的定义域解析设易知，又即，所以故原函数的定义域为3、对复合函数值域的求解，要由内到外，层层突破复合函数值域的求解也是复合函数教学的要点之一.有些学生在解决这一问题是往往理不出头绪，思维次序比较混乱.鉴于此，笔者认为，要正确求出复合函数的值域，要按照复合函数的逻辑构成去进行，做到：“由内到外，层层突破”.具体做法可叙述为：值域就是在中的象集，记为，求复合函数值域的基本方法是：先求出定义域，然后求出内函数的值域，根据内函数的值域求出外函数的值域，就是求复合函数的值域.例3求函数的值域解析，此函数的定义域为，因为，所以，得故所求值域为4、复合函数解析式的求解要根据已知，巧妙施法复合函数解析式的求法没有固定的模式，而要根据已知题设条件的特点，灵活多变的选择不同的方法，对于复合函数，经常利用代入法、配方法、换元法及待定系数法求解析式.例4，求解析先以换元法求，再用代入法求令，则所以即故例5设函数是一个一次函数，若，求函数的解析式解析用待定系数法，设则，即所以解得故5.复合函数单调性的确定要依据规律，循序渐进如何正确的判断复合函数单调性，笔者认为，要依据规律，循序渐进，复合函数单调性的规律：设复合函数，令（内函数），则（外函数）.若内外函数单调性相同，则复合函数为增函数；若内外函数单调性相反，则复合函数为减函数；简称：“同增异减”.具体确定复合函数的单调性，可按下列步骤进行：（1）求出外函数的单调区间（2）对每一个，由，求出出的集合（3）求出在上的单调区间（4）根据复合函数单调性的规律，确定在上的单调性...
