最值问题在经济管理中应用经济数学建模西安交通大学戴雪峰

精品文档---下载后可任意编辑本段举例说明最大、最小值问题在经济管理中的应用.1. 最小成本问题实际问题中成本一般是产量 q 的函数: C=C(q),求最小成本问题即是求 C(q)的最小值问题,但在有用中,常常是用平均成本C(q)q达到最小来控制产量,所以常常是求平均成本的最小值.例 2 设某企业每季度生产某种产品 q 个单位时,总成本函数为C (q)=aq3−bq+cq( a>0,b>0,c>0)(1) 求使平均成本最小的产量;(2) 求最小平均成本及相应的边际成本.解 (1)平均成本函数为¯C(q)=C(q)q=aq2−bq+c (q>0)令 ¯C'( q)=2aq−b=0, 得唯一驻点q= b2a又 ¯C''(q)=2a>0, 故 q= b2a 就是¯C(x)的微小值因而是最小值.所以,每季度产量为b2a 个单位时,平均成本最小.(2) 当q= b2a 时,最小平均成本为¯C( b2a )=a( b2a )2−b( b2a )+c=4 ac−b24a而边际成本函数为 C'( q)=3aq2−2bq+c所以当q= b2a 时,相应的边际成本为C'( b2a )=3 a( b2a )2−2 b( b2a )+c=4 ac−b24a由此可见,最小平均成本等于其相应的边际成本.一般而言,假如平均成本¯C(q)=C(q)q可导,则令¯C'( q)=qC'( x)−C(q)q2=1q [(C'(q)−¯C(q)]=0当¯c(q)在处取得微小值时,有C'( q)=¯C( q),即对于成本函数,最小平均成本等于相应的边际成本,这也证实了我们在第二章讨论边际成本时的结论.例 35,∶ 为了使货物从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省,问 D 点应选在何处?解 设 AD=x(km), 则 DB=100-x(km),CD=√202+ x2=√400+ x2由于铁路上每 km 货物的运费与公路上每 km 货物的运费之比为35,∶ 因此不妨设铁路上每公里的运费为 3k,公路上每公里的运费为 5k(k为某个常数,因它与本题的解无关,所以不必定出).设从 B点到 C 点需要的总运费为 y,那么 y=5k·CD+3k·DB，即y=5 k√400+x2+3k(100−x) （0≤x≤100）现在，问题就归结为 x 在[0,100]内取何值时 y 的值最小.y'=k (5x√400+ x2 −3)令y'=0 ,得唯一驻点 x=15 由于y|x=0=400k , y|x=15=380k , y|x=100=500k√1+ 152 ,其中 x=15 时,y 最小,因此,当 AD=15km 时,总运费最省.2. 最大利润问题在产量等于销量的情况下,利润等于总收入与总成本之差,即L(x)=R(x)−C(x)若企业以最大利润为目标而控制产量,问题就转化为选择怎样的产量,使利润最大.根据极值存在的必要条件可知,L'( x)=R'( x)−C'( x)=0即当边际收入R'( x)等于边际成本C'( x )时,企业可获最大利润.例 4 p=30-,...