精品文档---下载后可任意编辑 1) 初等函数f ( x)在定义区间内处处连续: 若f (a)存在, 则有limx→a f ( x)=f (a). 2) 变量代换: 设limx→a g( x)=b(g( x)≠b), 若limu→b f (u)=A, 则有limx→a f [ g( x )]=limu →b f (u)=A3) limx→x 0f ( x)=a的充要条件为: limx→x 0+ f ( x)= limx→ x0− f ( x)=a. 4) limx→∞f ( x)=a的充要条件为: limx→+∞f (x )= limx→−∞f ( x)=a.5) 极限的四则运算. 6) “00 ”,“∞∞ ”型洛必达法则.例1.设f ( x)=√1+x+ x2−√1−x+x2, 则f ( x)为( ).A. 有界函数; B. 偶函数;C. limx→∞f ( x)=1; D. limx→−∞f ( x)=1.解题提示: 1) f ( x)为奇函数.2) x→−∞ 时, x<0 , 1x=−√1x2 .3) |f ( x)|=|f (|x|)|=2|x|√1+|x|+x2+√1−|x|+x2 <2.例2.下列各式中不正确的是（ ）.A. limx→0 e1x=∞; B. limx→0+ e1x =+∞; C. limx→0−e1x =0; D. limx→∞e1x =1.例3.求limx→0( 2+e1x1+e4x+sin x|x| ).解题提示: 计算左右极限.洛必达法则是计算极限的有效方法.例4.计算下列极限: 1) limx→π4tan x−1sin 4 x;2) limx→+0ln(1+ 1x )ln x;3) limx→+0 x2 ln x;4) limx→0( 1x −1ex−1);5) limx→∞[ x−x2ln(1+ 1x )].解题提示: 5) 令x=1t ; 或ln (1+ 1x )=1x−12⋅ 1x2 + 13⋅ 1x3 −⋯.例5.若limx→0[sin 3 xx3+ f ( x)x2 ]=0, 计算limx→03+f (x )x2.解题提示: sin 3 xx3+ f ( x)x2 =sin 3 x−3 xx3+3+f ( x)x2.极限计算中无穷小的处理:在乘除运算中, 极限值不为 0 的因子先算出, “0 因子”作等价无穷小代换, “0 根式”有理化.例6.计算limx→0ex−sin x−cos x1−√1−sin2 x.解: limx→0ex−sin x−cos x1−√1−sin2 x (x=0 代入,此式为 “00 ”型)=limx→0e x−sin x−cos xsin2 x⋅(1+√1+sin2x ) (“0 根式”有理化)=2 limx→0ex−sin x−cos xx2 (乘除运算中“非 0 因子”先算出, “0 因子”作等价无穷小代换)=limx→0e x−cos x+sin xx (洛必达法则)=limx→0e x+sin x+cos x1 (洛必达法则) (初等函数在定义区间内处处连续. )例7.计算下列极限:1) limx→∞3 x2+55 x+3 sin 1x ;2) limx→2√x+2−2√4 x+1−3 ;3) limx→0(1sin2 x− 1x2 ).例8.计算limx→+∞ x32(√ x+...
