求锐角三角函数值的策略解析VIP免费

求锐角三角函数值的策略求锐角三角函数值是锐角三角形函数的重要内容，求锐角三角函数值的方法较多，解决时，要根据不同的已知条件，选择灵活的解题方法。一、利用定义求解例1、三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sinα的值是（）(A)(B)(C)(D)分析：由正方形网格可知角α的对边的长为3，邻边的长为4，要求sinα，只要根据勾股定理求出三角形的斜边，再根据三角函数的定义计算即可．解：设α的对边为a，邻边为b，斜边为c，则a=3，b=4，所以c=，所以sinα=，选(C)．评注：解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长，然后直接根据定义进行求值．二、设参数求解例2、在△ABC中，∠C=90º，sinB=，求tanA的值．分析：正切函数的定义，sinB==，可设AC=4k，AB=5k，再利用勾股定理，求出AB=3k，根据正切函数的定义可求出tanA的值。解：在△ABC中，∠C=90º，sinB==，则设AC=4k，AB=5k，由勾股定理可求，BC==3k，所以tanA＝．评注：在直角三角形中，已知一个锐角的一个三角函数值，就可知道与此三角函数值有关的边的比值，若知道两条边的比值，就可求出与之对应的三角函数值，不需要知道具体的边长，所以当已知条件为某个角的三角函数值，求其它三角函数值时，可设参数表示出边长，然后再利用三角函数的定义求解。图1三、等角代换法例3、如图2，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝∠ACD,且AB＝3，AD=4，则tanBAC∠等于多少分析：要求tan∠BAC需求DE、AE的长，但计算比较繁，而RtABC△中的边易求出，而由条件易得∠ADE=BAC∠，所以只需求出tanBAC∠即可。解：在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，所以∠DEA=B=90°∠，BC=AD=3，由ADBC∥，得∠DAE=ACB∠，所以∠ADE=BAC∠，所以tanBAC=∠=。评注：在一个图形中有多个直角三角形时，当所求的角的三角函数值计算比较麻烦或不易解决时，可考虑等角代换。四、化“斜”为“直”法例4、如图3，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tanB=∠，AC上有一点E，满足AEEC=23∶∶．那么，tanADE∠是（）（A）（B）（C）（D）分析：要求tanADE∠值，需要构造包含∠ADE的直角三角形，为此需要过点作FEAD⊥，只要求得即可．解：因为ADBC⊥于D，AB=AC，所以∠BAD=CAD∠，因为tanB=∠，∠B+CAD=90°∠，所以tanCAD=∠，作EFAD⊥交AD于F，则tanCAD=∠，所以EF=，因为ADBC⊥，EFAD⊥，所以EF//CB，又AE：EC=2：3．所以AF：FD=2：3，所以FE=，所以tanADE=∠图3图2，故选（C）．评注：当所要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构造直角三角形或寻找与某个直角三角形相等的角．本采用了构造直角三角形的方法．五、利用方程思想例5、如图4，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7（AC>BC），AB=5，则tanB=．分析：要求tanB，根据锐角三角函数的定义，则需要求到对边AC和邻边BC的长，因为知道斜边AB=5，且AC+BC=7，所以可以根据勾股定理进行计算．解：设AC=x，则BC=7-x，根据勾股定理，得x2+(7-x)2=52，解得x=4，所以AC=4，BC=3，所以tanB=．评注：本题的解题思路是根据已知条件确定∠B的对边和邻边的长，然后根据定义进行求值．同时体现了方程思想在求三角函数值中的应用．实际上，本题是一道填空题，不通过计算直接观察就可以解决．因为斜边是5，且两条直角边的和为7，所以两条直角边的长分别是4和3．六、数形结合法例6、已知tanα=，求：的值．分析：解决本题的关键是运用三角函数的定义．由已知条件tanα=，可设在Rt△ABC，∠C=90°，∠B=α，则有AC=3k，BC=4k，可求出sinα=，cosα=，将其代入计算即可．图4解：在Rt△ABC中，令∠C=90°，∠B=α，由tanα=，可设AC=3k，BC=4k，由勾股定理得AB=5k，所以sinα=，cosα=．将sinα=，cosα=代入得＝－7．评注：解决本题的巧妙之处正是见“数”（三角函数）思“形”（直角三角形），充分展示了数形结合思想的魅力。