§1.4数列的子列定义1：设为数列，为正整数集的无限子集，且，则数列，称为数列的一个子列，简记为。在数列中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为的子列，记为，其中表示在原数列中的项数，表示它在子列中的项数．定义2：数列本身以及去掉有限项后得到的子列，称为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为非平凡子列。性质：一个数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散；且在收敛时有相同的极限。对数列的子列，有如下结果：（1）对每一个，有．（2）对任意两个正整数，如果，则．反之，若，则．（3），有.（4）数列收敛的充要条件是和收敛到同一极限.证明:必要性.设,则任给,找得到正整数N,当时,有.此时对2N,当2n>2N时也有,亦即.同理可证.充分性.设,则对任给,找得到正整数N,当n>N时,有①同时可找到正整数M,当n>M时,有②从而取N0=max{2N,2M+1},当n>N0时,n为偶数,则满足①;n为奇数,则满足②,即当n>N时,有,亦即.（5）若，和都收敛，且有相同的极限，则收敛。或者说：数列收敛的充要条件是，和收敛到同一极限.证明:设，则由数列极限的定义，知，，，；同样也有，，；，，。取，当时，对任意的自然数n，若，则必有，从而；同样若，则必有，从而也有；若，则必有，从而。所以，即收敛。（6）数列收敛的充要条件：的任何子列都收敛于同一极限.证明:必要性.设是的任一子列.,使得当时有.由于,故当时更有,从而也有,这就证明了.充分性.考虑的子列.按假设它们都收敛.由于既是,又是的子列,故由刚才证明的必要性有.又既是又是的子列,同样可得.故.由上面的（4）点可知收敛.下面举几个子列的例子。例1:证明以下数列发散（1）;（2）证明:设，则，而，因此发散。（2）证明:的偶数项组成的数列，发散，所以发散。例2:判断以下结论是否成立:若和都收敛，则收敛。解:结论不一定成立。例如，设，则，都收敛，但发散。注:若和都收敛，且极限相等（即），则收敛。例4:若单调数列含有一个收敛子列，则收敛。证明：不妨设是单调增加数列，是其收敛子列。于是有界，即存在，使得。（这里用了结论：数列收敛，则必有界）。对单调增加数列中的任一项必有，即单调增加有上界，从而收敛。（这里用了结论：单调有界数列必收敛）。例5（致密性定理）:任何有界数列必有收敛的子数列。证明:设是一个有界数列，且设即是一个单调下降的数列，又有界，则存在正数M，,从而。则是单调有界数列。由单调有界收敛原理知，收敛。
