完全平方数的性质

完全平方数及其性质 能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。 例如： 0 ,1 ,4 ,9 ,1 6 ,2 5 ,3 6 ,4 9 ,6 4 ,8 1 ,1 0 0 ,1 2 1 ,1 4 4 ,1 6 9 ,1 9 6 ,2 2 5 ,2 5 6 ,2 8 9 , 324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 一、平方数有以下性质： 【性质1 】完全平方数的末位数只能是 0 ,1 ,4 ,5 ,6 ,9 。 【性质2 】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 【性质3 】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是 6 ；反之，如果完全平方数的个位数字是 6 ，则它的十位数字一定是奇数。 推论 1 ：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是 6 ，那么这个数一定不是完全平方数。 推论 2 ：如果一个完全平方数的个位数字不是 6 ，则它的十位数字是偶数。 【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25 的自然数不是完全平方数； （2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0 本身）不是完全平方数； 100，10000，1000000 是完全平方数， 10，1000，100000 等则不是完全平方数。 （3）个位数字为 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 需要说明的是：个位数字为 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879 等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。 但个位数字为 1，4，9 而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如：21，44，89 不是完全平方数，但49，64，81 是完全平方数。 【性质5】偶数的平方是4 的倍数；奇数的平方是4 的倍数加 1。 这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2 【性质6】奇数的平方是8n+1 型；偶数的平方为8n 或8n+4 型。 【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如 13，21，24，28 等）】 【性质8】不能被 5 整除的数的平方为5k±1 型，能被 5 整除的数的平方为5k 型。 【性质9】平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。 除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。 例如，256 它的各位数字相加为2+5+6=13，13 叫做 256 的各位数字和。如果再把 13 的各位数字相加：1+3=4，4 也可以叫做 256 的各位数字的和...