§4 定积分的性质 教学目的与要求： 1 . 理解并掌握定积分的性质极其证明方法. 2 . 逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学重点，难点： 1 . 定积分的性质极其证明方法. 2 . 应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学内容： 一 定积分的基本性质 性质 1 若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且 bbkfx dxkf x dxaa. （1） 证 当k=0 时结纶显然成立. 当k0时,由于 11.,nniiiiiikfxkJkfxJ 其中J= , dfab因此当f 在[a,b]上可积时,由定义,任给0 ,0 ,,T存在当时 1,niiifxJk 从而 1.niiikfxkJ 即kf 在［a,b］上可积，且 .bbkfx dxkJkfx dxaa 性质２ 若f﹑g 都在［a,b］可积，则fg在［a,b］上也可积，且 .bbbfxg xdxfx dxg x dxaaa （2） 证明与性质１类同。 注 1 性质１与性质２是定积分的线性性质，合起来即为 ,bbbafxg xdxafx dxg x dxaaa 其中a﹑ 为常数。 注 2 在f，g，h=f+g(或 f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则另外一个在[a,b]上可积. 在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在[a,b]上可积，一个在[a,b]上不可积， 则另外一个在[a,b]上必不可积. 性质３ 若f﹑g 都在［a,b］上可积，则f·g 在［a,b］上也可积。 证 由f、g 都在［a,b］上可积，从而都有界，设 Ａ＝ ,,supa bf x Ｂ ,,supa bg x 且Ａ＞０，Ｂ＞０（否则f、g 中至少有一个恒为零值函数，于是f、g 亦为零值函数，结论显然成立）。 任给0, 由f、g 可积，必分别存在分割'T 、"T ，使得 ',2fiiTxB ".2giiTxA 令"' TTT（表示把T、T 的所有分割点合并而成的一个新的分割T）。对于[a,b]上T 所属的每一个i ，有 gfgfigfsup,. ,'supigfffgg • .gifiAB 利用§3 习题第 1 题，可知 .f gfgiiiiiTTABA...
