实变函数(复习资料,带答案)

（第1页，共15页） 《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3 分×5=15 分） 1、下列各式正确的是（ ） （A）1limnknnk nAA  ; （B）1limnknk nnAA  ; （C）1limnknnk nAA  ; （D）1limnknk nnAA  ; 2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A）P c (B) 0mP  (C) PP ' (D) PP  3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 4、设( )nfx是 E 上的 . .a e 有限的可测函数列 ,则下面不成立的是( ) （A）若( )( )nfxf x, 则( )( )nfxf x (B) sup( )nnfx是可测函数（C）inf( )nnfx是可测函数;（D）若( )( )nfxf x,则( )f x 可测 5、设 f(x)是],[ba上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(xf在],[ba上有界 (B) )(xf在],[ba上几乎处处存在导数 （C）)(' xf在],[ba上 L 可积 (D) baafbfdxxf)()()(' 二. 填空题(3 分×5=15 分) 1、()(())ssC AC BAAB _________ 2、设 E 是 0,1 上有理点全体，则'E =______,oE =______, E =______. 3、设 E 是nR 中点集，如果对任一点集 T 都_________________________________ ，则称 E 是 L 可测的 4、)(xf可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设( )f x 为,a b 上的有限函数，如果对于,a b 的一切分划，使_____________________________________,则称( )f x 为 ,a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5 分×4=20 分)1、设1ER，若 E 是稠密集，则CE是无处稠密集。 2、若0mE，则 E 一定是可数集 . 3、若| ( ) |f x是可测函数，则( )f x 必是可测函数 4．设( )f x 在可测集 E 上可积分，若,( )0xE f x  ，则( )0Ef x  （第2页，共15页） 四、解答题（8 分×2=16 分）. 1、（8分）设2,( )1,xxf xx 为无理数为有理数 ，则( )f x 在 0,1 上是否 R 可积，是否 L  可积，若可积，求出积分值。 2、（8分）求0ln()limcosxnxn exdxn 五、...