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实变函数(复习资料,带答案)

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(第1页,共15页) 《实变函数》试卷一 一、单项选择题(3 分×5=15 分) 1、下列各式正确的是( ) (A)1limnknnk nAA  ; (B)1limnknk nnAA  ; (C)1limnknnk nAA  ; (D)1limnknk nnAA  ; 2、设 P 为 Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A)P c (B) 0mP  (C) PP ' (D) PP  3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测 4、设( )nfx是 E 上的 . .a e 有限的可测函数列 ,则下面不成立的是( ) (A)若( )( )nfxf x, 则( )( )nfxf x (B) sup( )nnfx是可测函数(C)inf( )nnfx是可测函数;(D)若( )( )nfxf x,则( )f x 可测 5、设 f(x)是],[ba上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) )(xf在],[ba上有界 (B) )(xf在],[ba上几乎处处存在导数 (C))(' xf在],[ba上 L 可积 (D) baafbfdxxf)()()(' 二. 填空题(3 分×5=15 分) 1、()(())ssC AC BAAB _________ 2、设 E 是 0,1 上有理点全体,则'E =______,oE =______, E =______. 3、设 E 是nR 中点集,如果对任一点集 T 都_________________________________ ,则称 E 是 L 可测的 4、)(xf可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”) 5、设( )f x 为,a b 上的有限函数,如果对于,a b 的一切分划,使_____________________________________,则称( )f x 为 ,a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5 分×4=20 分)1、设1ER,若 E 是稠密集,则CE是无处稠密集。 2、若0mE,则 E 一定是可数集 . 3、若| ( ) |f x是可测函数,则( )f x 必是可测函数 4.设( )f x 在可测集 E 上可积分,若,( )0xE f x  ,则( )0Ef x  (第2页,共15页) 四、解答题(8 分×2=16 分). 1、(8分)设2,( )1,xxf xx 为无理数为有理数 ,则( )f x 在 0,1 上是否 R 可积,是否 L  可积,若可积,求出积分值。 2、(8分)求0ln()limcosxnxn exdxn 五、...

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