实验四自由曲线曲面算法实验

实验四 自由曲线曲面算法实验 实验项目性质：设计性实验 所属课程名称：3D游戏图形学 实验计划学时：3学时 一、 实验目的和要求 1. 了解自由曲线和曲面的生成原理； 2. 掌握并实现 Bezier 曲线和 B 样条曲线的生成算法； 3. 实现 Bezier 曲面的生成算法。 二、 实验原理 1. Bezier 曲线是通过一组多边形折线的顶点来定义的。如果折线的顶点固定不变，则由其定义的 Bezier 曲线是唯一的。在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。因此，多边形折线又称Bezier 曲线的控制多边形，其顶点称为控制点。 三次多项式，有四个控制点，如图1 所示， 其数学表示如下： ,300 .311 .322 .333 .30( )( )( )( )( )( )i iiQ tPBtP BtPBtP BtP Bt 图1 三次 Bezier 曲线 32230123(1)3 (1)3 (1),[0,1]t Ptt Ptt Pt P t （1） 其矩阵形式为 01322313313630( )(1),[0,1]33001000PPQ tttttPP  （2） 2. B 样条曲线保留了Bezier 曲线的优点，对Bezier 曲线进行了拓广，用B 样条基代替Bernstein 基，克服了Bezier 曲线由于整体表示带来的不具备局部性质的缺点。B 样条曲线的数学定义为 0nkk,mkp(t)P B(t)  （3） 式中，(0,1,, )kP kn为n+1 个控制点，由控制点顺序连成的折线称为B 样条控制多边形。m 是一个阶参数，可以取 2 到控制顶点个数 n+1 之间的任一整数，m-1 是 B 样条曲线的次数。参数 t 的选取取决于B 样条结点矢量的选取。k,mB(t)是B 样条基函数，   k1,1,,11,1111 ( )0 ( )kkkk mk mk mkmk mkk mktt tBtt tttBtBtBttttt  若其它 （4） kt 是结点值，01( , ,,)n mTt tt构成了m-1 次 B 样条函数的结点矢量，其中的结点是非减序列，所生成的B 样条曲线定义在从结点值1mt 到结点值1nt 的区间上，而每个基函数定义在 t 的取值范围内的kt 到k+mt的子区间内。 从式（3）和（4）可以看出，仅仅给定控制点和参数 m 还不足以完全表达 B样条曲线，还需要给定结点矢量并使用公式（4）来获得基函数。 对于...