导数应用练习题答案

导数应用练习题答案 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值 。 2(1) ( )23[ 1,1.5]f xxx； 21(2) ( )[ 2,2]1f xx； (3) ( )3[0,3]f xxx； 2(4) ( )1[ 1,1]xf xe 解：2(1) ( )23[ 1,1.5]f xxx 该函数在给定闭区间上连续，其导数为( )41fxx ，在开区间上可导，而且( 1)0f ，(1.5)0f，满足罗尔定理，至少有一点( 1,1.5)  ， 使( )410f  ，解出14 。 解：21(2) ( )[ 2,2]1f xx 该函数在给定闭区间上连续，其导数为222( )(1)xfxx， 在开区间上可导，而且1( 2)5f ，1(2)5f，满足罗尔定理，至少有一点( 2, 2)  ， 使222( )0(1)f，解出0 。 解：(3) ( )3[0,3]f xxx 该函数在给定闭区间上连续，其导数为( )323xfxxx，在开区间上可导，而且(0)0f，(3)0f，满足罗尔定理，至少有一点(0,3) ， 使( )3023f，解出2 。 解：2(4) ( )e1[ 1,1]xf x  该函数在给定闭区间上连续，其导数为2( )2 exfxx， 在开区间上可导，而且( 1)e 1f ，(1)e 1f ，满足罗尔定理，至少有一点 ，使2( )2 e0f，解出0 。 2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值 。 3(1) ( )[0, ](0)f xxaa； (2) ( )ln[1,2]f xx； 32(3) ( )52[ 1,0]f xxxx 解：3(1) ( )[0, ](0)f xxaa 该函数在给定闭区间上连续，其导数为2( )3fxx，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(0, )a ，使( )(0)( )(0)f affa，即3203(0)aa，解出3a 。 解：(2) ( )ln[1,2]f xx 该函数在给定闭区间上连续，其导数为1( )fxx，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(1, 2) ，使(2)(1)( )(21)fff ，即1ln 2ln1(2 1)，解出1ln 2 。 解：32(3) ( )52[ 1,0]f xxxx 该函数在给定闭区间上连续，其导数为2( )3101fxxx ，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点( 1,0)  ，使(0)( 1)( )(01)fff ， 即22( 9)(3101)(0...