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导数计算公式

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导 数 公 式 一、基本初等函数的导数公式 已知函数:(1)y=f(x)=c;(2)y=f(x)=x;(3)y=f(x)=x2;(4)y=f(x)=1x;(5)y=f(x)=x. 问题:上述函数的导数是什么? 提示:(1) ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx=c-cΔx =0,∴y′=limΔx→0 ΔyΔx=0. 2)(x)′=1,(3)(x2)′=2x,(4)1x ′=-1x2,(5)( x)′=12 x. 函数(2)(3)(5)均可表示为 y=xα(α∈Q*)的形式,其导数有何规律? 提示: (2)(x)′=1·x1-1,(3)(x2)′=2·x2-1,(5)( x)′=(x12 )′=12x112 -=12 x,∴(xα)′=αxα-1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c 为常数) f′(x)=0 f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos x f(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=ax f′(x)=axln a f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=logax f′(x)=1xln a f(x)=ln x f′(x)=1x 二、导数运算法则 已知f(x)=x,g(x)=1x. 问题1:f(x),g(x)的导数分别是什么? 问题2:试求Q(x)=x+1x,H(x)=x-1x的导数. 提示: Δy=(x+Δx)+1x+Δx-x+1x =Δx+-Δxxx+Δx, ∴ΔyΔx=1-1xx+Δx,∴Q′(x)=limΔx→0 ΔyΔx=limΔx→0 1-1xx+Δx =1-1x2.同理 H′(x)=1+1x2. 问题3:Q(x),H(x)的导数与 f(x),g(x)的导数有何关系? 提示:Q(x)的导数等于 f(x),g(x)导数的和,H(x)的导数等于 f(x),g(x)导数的差. 导数运算法则 1.[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x) 2.[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 3.fxgx ′=f′xgx-fxg′x[gx]2(g(x)≠0) 题型一 利用导数公式直接求导 [例 1] 求下列函数的导数:(1)y=10x;(2)y=lg x;(3)xy21log; (4)y=4 x3;(5)12cos2sin2xxy. [解] (1)y′=(10x)′=10xln 10;(2)y′=(lg x)′=1xln 10; (3)y′=1xln 12=-1xln 2;(4)y′=(4 x3)′=344 x;(5) y=sin x2+cos x22-1=sin2x2+2sinx2cosx2+cos2x2-1=sin x,∴y′=(sin x)′=cos x. 练习 求下列函数的导数: (1)y=1ex;(2)y=110x;(3)y=lg 5;(4)y=3lg3 x;(5)y=2cos2x2-1. 解:(1)y′=1ex ′=1exln1e=-1ex=-e-x...

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