球面上的勾股定理 如图所示，圆AB、BC、AC 为球面上的三个圆，其中 AC 为大圆，圆AB 与 BC、BC 与 AC、AC 与 AB 相切。圆AB、BC、AC 的法线（法线：垂直于圆所在的平面，且通过圆心的直线）皆在平面M 内。 由于圆AB、BC、AC 的法线皆通过球心，且皆在平面M 内，则球心也在平面M 内，所以平面M 一定是大圆平面。设这个大圆为 D。 由于法线皆垂直于圆，所以圆AB、BC、AC 皆垂直于平面M。 由于法线通过圆心，且在平面M 内，所以平面M 通过圆心，所以，圆AB 与平面M、BC与平面M、AC 与平面M 的交点间的距离皆为圆的直径。 由于圆AB、BC、AC 上任意一点都在球面上，所以圆AB、BC、AC 与平面M 的交点也在球面上。 由于平面M 上的球面为大圆D，所以圆AB、BC、AC 与平面M 的交点也在大圆D 上。 由于圆AB、BC、AC 皆垂直于平面M，且相切，所以，其切点也一定在大圆D 上。 设圆AB 与 BC 的切点为 B，圆BC 与 AC 的切点为 C，圆AC 与 AB 的切点为 A，则 A、B、C 三点皆在大圆D 上，且 A、B、C 三点之间的距离皆为圆的直径。 用直线连接 A、B、C 这三点，可以得到平面三角形 ABC，由于 AC 为大圆的直径，三角形的三个定点又在大圆上，所以三角形 ABC 一定为直角三角形。 所以，其三边的关系是： （AB）^2+（BC）^2=（AC）^2 （1） 由于，在上述给定的条件下，平面三角形 ABC 为直角三角形，所以，球面三角形 ABC 也是直角三角形。 由于平面直角三角形 ABC 的边长与π 的积的一半为球面直角三角形 ABC 的对应边的边长（弧长），所以，将（1）式两边同时乘以（0.5π ）^2，则： （0.5π AB）^2+（0.5π BC）^2=（0.5π AC）^2 也就是说，勾股定理在球面直角三角形中也是成立的。 球面上的直线 定义：球面上的圆（大圆及小圆）都是球面上的直线。 大圆是球面上的直线，但球面上的直线并不是只有大圆。球面上任意小圆都是直线。因为无论是大圆还是小圆都可以视为平面截球面的交线。由于都是平面截出的，所以在垂直于这个平面的方向上，无论是大圆还是小圆都不是弯曲的、都是直的。这是它们的共同性质。 在实际生活中也是如此，如果我们在纬线上一直向东运动，那么我们没有理由认为这不是直线运动。如同如果我们在赤道上一直向东运动，我们也没有理由不认为我们不是在直线运动一样。 人们说平面上过两点的直线只有一条，其实不然，过平面上两点的直线有无数条，只是所有...
