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全新球面几何

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球面上的勾股定理 如图所示,圆AB、BC、AC 为球面上的三个圆,其中 AC 为大圆,圆AB 与 BC、BC 与 AC、AC 与 AB 相切。圆AB、BC、AC 的法线(法线:垂直于圆所在的平面,且通过圆心的直线)皆在平面M 内。 由于圆AB、BC、AC 的法线皆通过球心,且皆在平面M 内,则球心也在平面M 内,所以平面M 一定是大圆平面。设这个大圆为 D。 由于法线皆垂直于圆,所以圆AB、BC、AC 皆垂直于平面M。 由于法线通过圆心,且在平面M 内,所以平面M 通过圆心,所以,圆AB 与平面M、BC与平面M、AC 与平面M 的交点间的距离皆为圆的直径。 由于圆AB、BC、AC 上任意一点都在球面上,所以圆AB、BC、AC 与平面M 的交点也在球面上。 由于平面M 上的球面为大圆D,所以圆AB、BC、AC 与平面M 的交点也在大圆D 上。 由于圆AB、BC、AC 皆垂直于平面M,且相切,所以,其切点也一定在大圆D 上。 设圆AB 与 BC 的切点为 B,圆BC 与 AC 的切点为 C,圆AC 与 AB 的切点为 A,则 A、B、C 三点皆在大圆D 上,且 A、B、C 三点之间的距离皆为圆的直径。 用直线连接 A、B、C 这三点,可以得到平面三角形 ABC,由于 AC 为大圆的直径,三角形的三个定点又在大圆上,所以三角形 ABC 一定为直角三角形。 所以,其三边的关系是: (AB)^2+(BC)^2=(AC)^2 (1) 由于,在上述给定的条件下,平面三角形 ABC 为直角三角形,所以,球面三角形 ABC 也是直角三角形。 由于平面直角三角形 ABC 的边长与π 的积的一半为球面直角三角形 ABC 的对应边的边长(弧长),所以,将(1)式两边同时乘以(0.5π )^2,则: (0.5π AB)^2+(0.5π BC)^2=(0.5π AC)^2 也就是说,勾股定理在球面直角三角形中也是成立的。 球面上的直线 定义:球面上的圆(大圆及小圆)都是球面上的直线。 大圆是球面上的直线,但球面上的直线并不是只有大圆。球面上任意小圆都是直线。因为无论是大圆还是小圆都可以视为平面截球面的交线。由于都是平面截出的,所以在垂直于这个平面的方向上,无论是大圆还是小圆都不是弯曲的、都是直的。这是它们的共同性质。 在实际生活中也是如此,如果我们在纬线上一直向东运动,那么我们没有理由认为这不是直线运动。如同如果我们在赤道上一直向东运动,我们也没有理由不认为我们不是在直线运动一样。 人们说平面上过两点的直线只有一条,其实不然,过平面上两点的直线有无数条,只是所有...

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