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八年级上册——角平分线的性质和判定

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1 角平分线的性质 [问题] 如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A 放在角的顶点,AB 和AD沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是角平分线,你能说明它的道理吗? [操作] 作已知角的平分线的方法: 已知:∠AOB. 求作:∠AOB 的平分线. 作法: (1)以 O 为圆心,适当长为半径作弧,分别交 OA、OB 于 M、N. (2)分别以 M、N 为圆心,大于 12 MN 的长为半径作弧.两弧在∠AOB 内部交于点C. (3)作射线OC,射线OC 即为所求. [探索] 按以下步骤折纸 将∠AOB 对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? [证明] 已知:OC 是∠AOB 的平分线,点P 在OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E 求证:PD=PE 证明: [几何语言描述] P在AOB的平分线上 PDOA于 D ,PEOB于 E  PDPE  角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 【例 1】如图,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,这个集贸市场应建于何处? 2 【例 2】如图,△ABC 的角平分线BM、CN 相交于点P.求证:点P到三边AB、BC、CA 的距离相等. 【例 3】如图,D 是ABC的外角ACE的平分线上一点,DFAC于F ,DEBC于E,且交BC 的延长线于E。 求证:CECF。 【例 4】已知:AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BD=CD,求证:∠B=∠C. 【例 5】如图,在△ABC 中,已知AC=BC,∠C=90°,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为 E.求证:AB=AC+CD. 【例 6】如图,OC 是∠AOB 的角平分线,P 是OC 上一点,PD⊥OA 交于点D,PE⊥OB 交于点E,F是OC 上除点P、O 外一点,连接 DF、EF,则 DF 与 EF 的关系如何?证明你的结论 3 【课后作业】 1、如图所示,∠B=∠C=90°,根据角平分线的性质填空: (1)若∠1=∠2,则________=________; (2)若∠3=∠4,则________=________. 2、如图所示,下列推理中正确的个数是( ) ①因为 OC 平分∠AOB,点 P、D、E 分别在 OC、OA、OB 上,所以 PD=PE; ②因为 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,所以 PD=PE; ③因为 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,且 OC 平分∠AOB,所以 PD=PE. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3、如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分∠BAC...

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