东 北 大 学 研 究 生 考 试 试 卷 考试科目： 状态监测与故障诊断 课程编号： 阅 卷 人： 考试日期： 2013.12 * 名： *** 学 号： ******* 注 意 事 项 1．考 前 研 究 生 将 上 述 项 目 填 写 清 楚 2．字 迹 要 清 楚，保 持 卷 面 清 洁 3．交 卷 时 请 将 本 试 卷 和 题 签 一 起 上 交 评分 东北大学研究生院 小波分析的基本理论 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。经过大量学者不断探索研究，它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的。小波分析在保留傅里叶分析优点的基础上，具有许多特殊的性能和优点。而小波分析则是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析方法。所以理论基础渐已扎实，理论体系逐步完善，在工程领域已得到广泛应用。 1 小波变换理论 1.1 连续小波变换 定义1.1 小波函数的定义：设（x）为一平方可积函数，也即（x） L2（R），若其傅里叶变换（ω）满足条件： C = ∫̂（）d < +∞+− 1-1 则称（x）是一个基本小波或小波母函数（Mother Wavelet），并称上式为小波函数的容许性条件。 由定义1.1 可知，小波函数具有两个特点： （1）小：它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。由定义的条件知道任何满足可容许性条件的L2（R）空间的函数都可以作为小波母函数（包括实数函数或复数函数、紧支集或非紧支集函数等）。但是在一般的情 况 下 ，常 常 选 取 紧支集或近似紧支集的同时具有时域和频域的局部性实数或复数函数作为小波母函，让 小波母函数在时域和频域都具有较 好 的局部特性，这 样 可以更好 的完成实验 。 （2）波动 性：若设̂（）在点ω=0 连 续 ,则由容许性条件得: ∫(x)dx = ̂(0) = 0+− 1-2 也即直 流 分量为零 ,同 时也就 说 明 （x）必 是具有正 负 交 替 的波动 性,这 也是其 称为小波的原 因 。 定义1.2 连 续 小波基函数的定义:将 小波母函数（x）进 行 伸 缩 和平移 ,设其收 缩因 子(即尺 度 因 子)为a,平移 因 子为b,使 其平移 伸 缩 后 的函数为a,b（x）,则有: a，b(x) = a−12 (x−ba ) ，a > 0，b ∈ R 1-3 称a,b（x）为依 赖 于 参 数a,b 的小波基函数。由于 伸 缩 因 子...
