小波变换及应用

1 小波变换及应用 一． 为什么研究小波变换 傅立叶变换（Fourier Transform，缩写为FT）由下列公式定义： 正变换公式 ˆ( )( )i tff t edt （1） 逆变换公式 dteftfti)(ˆ21)( （2） 分析： 1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。 2．变换积分核tie的幅值在任何情况下均为1，即1tie，因此，频谱)(ˆ f的任一频率点值是由时间过程)(tf在整个时间域),(上的贡献决定的；反之，过程)(tf在某一时刻的状态也是由)(ˆ f在整个频率域),(上的贡献决定的。)(tf与)(ˆ f彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。 3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。 4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数)(tg，使其对信号)(tf进行乘积运算以实现在 附近的开窗，再对加窗的信号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform）。STFT定义如下： ( , )( ) ()i tfSf t g tedt  （3） 2 其中，窗口函数( )g t 一般取为光滑的低通函数，保证)(tg只在 的附近有值，在其余处迅速衰减掉。这样，短时傅立叶变换就在 点附近局部地测量了频率分量 的幅度值，得到信号在t时刻附近的频率信息。D．Gabor采用Gauss函数作为窗口函数，其相应的傅立叶变换仍旧是Gauss函数，从而保证短时傅立叶变换在时域与频域内均有局域化功能。 短时傅立叶变换存在固有的局限：即其时间——频率窗口是固定不变的，一旦窗函数( )g t 选定，其时频分辨率也就确定了。也就是说，它对所有的频率都使用同样的窗口。我们若想提高时间分辨率，就要把窗口缩得很窄，但这样势必会降低频率分辨率。Heisenberg测不准原理告诉我们，不可能在时间和频率上均有任意高的分辨率，因为时间和频...