第二章 一元函数微分学 §2.6 微分中值定理 【课程名称】 《高等数学》 【授课题目】微分中值定理 【授课时间】2011 年 11 月 18 日 【授课对象】2011 级电子信息专业 【教学内容】 本节课所将要学习的主要内容是微分中值定理中的核心定理——拉格朗日（Lagrange）中值定理，罗尔（Rolle）定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西（Cauchy）中值定理则是拉格朗日中值定理推广。 微分中值定理揭示的是函数在某个区间的整体性质与该区间内某一点处的导数之间的关系，因而称为中值定理。它是几个定理的统称。 微分中值定理也是微分学的理论基础，微分学的很多重要的应用都是建立在这个基础之上，后面将要讨论的洛必达（L’hospital）法则、泰勒（Taylor ）公式、函数的增减性与极值等都要用到微分中值定理。 【教学目标】 1、使学生掌握拉格朗日中值定理，熟练运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不等式以及方程根的存在性等； 2、使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳 与总 结 ，形成系统的知 识 层次与结 构 ； 3、使学生经 历 拉格朗日中值定理的完 整的研 究 过 程，体会 数学研 究 与数学应用的乐 趣 ，发 展 应用意 识 和 解 决 问 题的能力 。 【教学重点】微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其 应用。 【教学难 点】微分中值定理中拉格朗日中值定理的证明。 【教学方法及手 段 】以启 发 式讲 授为主，采 用多媒 体辅 助 演 示。 §2.6.2 拉格朗日中值定理 一、内容回顾 定理 1（Rolle）若函数( )f x满足条件 （1）在闭区间[ , ]a b 上连续； （2）在开区间( , )a b 内可导； （3）( )( )f af b。 则至少存在一点( , )a b ，使得( )0f 。几何意义：在定理的条件下，区间( , )a b 内至少存在一点 ，使得曲线在点(( ,( ))f处具有水平切线。 二、拉格朗日中值定理 定理 2（Lagrange）设函数( )f x满足条件： （1）在闭区间[ , ]a b 上连续； （2）在开区间( , )a b 内可导； 则在( , )a b 内至少存在一点 ， 使得 ( )( )( )f bf afba。 或写成 ( )( )( )()f bf afba。 上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于ba也成立。 几何意义：如果连续曲线( )yf x上除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，则在曲线...
