微积分习题讲解与答案

习题8.1 1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2xyyyyx (2) 02yyxyx (3)0)(sin42yxyyx (4)2sindd pp 解 (1) 1 阶 非线性 (2) 1 阶 线性 (3) 3 阶 线性 (4) 1 阶 线性 2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) xxyxyyxsin,cos (2) 2212,2)1(xCyxxyyx (C 为任意常数) (3) xCeyyyy,02 (C 为任意常数) (4) xxeCeCyyyy21212121,0)( (C1 ,C2 为任意常数) (5) Cyxyxyxyyx22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xyyyyyyxyxxy 解 (1) 是，左=xxxxxxxxcossinsincos2=右 (2) 是，左=xxCxxCxx2)12(1)1(222=右 (3) 是，左=02xxxCeCeCe=右 (4) 是，左= 0)())(()(2121212121221121222211xxxxxxeCeCeCeCeCeC =右 (5) 是，左=yxyxyxyx222)2(右 (6) 是，左=xxyyxxyyyxxyyxxxyxyxyxyxxy2)()(22)(22332 =0)())(2()()(222222232xxyxxyyyxxyxyxxyxyxyxy = 右 3.求下列微分方程的解 (1) 2ddxy; (2) xxycosdd22; (3) 0d)1(d)1(yyxy (4) yxxyy)1()1(22 解 (1) Cxyxy 2,d2d (2) 1sin,dcosdCxyxxxy 211cos,d)(sindCxCxyxCxxy (3) xyyydd11 xyyydd12)1( 解得 xyyydd12d 即 Cxyy|1|ln2 (4) dxxxdyyy)1(122 解得 2122)1ln()1ln(Cxy 整理得 22211Cxy  4.已知曲线)(xfy 经过原点，并且它在点),(yx处的切线的斜率等于22x ，试求这条曲线的方程。 解 已知 22xy  解得 Cxy332 又知曲线过原点，得0C 所求曲线方程为332 xy  习题8.2 1.用分离变量法求下列微分方程的解 (1) yxy4 (2) 0lnyyyx (3) yxy10 (4) 0dtansecdtansec22yxyxyx (5) 1|,0d1d10 xyyxyxyx (6) 0|,02xyxyey 解 (1) xxddyy41 解得 22)(Cxy (2) xdxyydyln 解得 Cxey (3) dxdyxy1010 解得 Cxy1010 即 Cyx1010 (...