浙江省数学竞赛模拟题(六）班级__________ 姓名__________一、选择题(共 50 分）1。已知条件: 和条件 ：．则是的 （ C ) A、充足不必要条件 B、必要不充足条件 C、充要条件 D、既不充足也不必要条件解：由于，故是的充要条件．故选 C．2。在 5 件产品中有 4 件正品、1 件次品．从中任取 2 件，记其中含正品的个数个数为随机变量，则的数学期望是 （ C ） A、 B、 C、 D、解:数学期望是：．故选 C。 3.设正三棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 2，则侧棱与底面所成的角的大小是 A、 B、 C、 D、 （ A ）解：设顶点在底面的射影是，则为的外心．从而，于是可得．故选 A．4。已知函数的最小值是 0,则非零实数的值是 ( B ）A、 B、 C、2 D、4解：，由于,故 当时,，不合题意；当时，， 由条件知，解得或 0（舍去)．故选 B. 5.长方体的八个顶点都在球的球面上,其中，,，则通过两点的球面距离是 ( C ） A、 B、 C、 D、解:球的半径,在中， ，则，从而． 因此,通过两点的球面距离是．故选 C．6.对任意实数，过函数图象上的点的切线恒过一定点，则点 的坐标为 （ B ） A、 B、 C、 D、解:由于，故．于是过的切线方程是: ，即，因此切线方程恒过．故选 B．7.设 A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于 A1、A2的点,使 得,其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率 的取值范围是 （ D ） A、 B、 C、 D、解：由题设知∠OPA2=90°，设 P（x,y)（x>0），以 OA2为直径的圆方程为， 与椭圆方程联立得．由题设知,规定此方程在（0, a ）上有实根． 由此得化简得，因此 e 的取值范围为．故选 D.8.记，则的最小值是 （ ） A、 B、 C、 D、4解：设动点与，则，点的轨迹为直线,点的轨迹 为双曲线，双曲线上的任一点到直线的距离 ，当时等号成立．故的最小值为．故选 C．9.设，是的小数部分，则当时，的值 （ ） 、必为无理数 、必为偶数 、必为奇数 、可为无理数或有理数 解：令，则,是方程的两根，则， 因 此 当时 ，， 令， 则 当时，，故所有为偶数，,，因，因此为的小数部分,即，奇数．答：．10。设为正整数，且与皆为完全平方数，对于如下两个命题： （甲）.必为合数；（乙).必为两个平方数的和.你的判断是 （ ）A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对; D。甲乙都不一定对.答案:解：设，为正整数；则…，由此知，为正整数，且，由于若，则...
