悠悠球的理论力学分析VIP专享

悠悠球的简单力学分析及讨论 假设悠悠球的质量为m，对质心的转动惯量为。细绳长为，不计形变及质量。轴承摩擦系数为μ ，内外半径分别为，细绳全部缠绕在轴承上时半径为R，忽略轴承的质量及转动惯量。假设悠悠球进行一个简单运动：以一定初速度被甩出，方向竖直向下，到达底端经过一段时间的睡眠后收回。下面分五个过程进行定量计算。（图均为过质心的截面图） 过程分析 1. 设出手的过程人做功 W，该功量全部转化为悠悠球的动能，使其绕瞬心O点定轴转动，角速度。由动能定理： 得： 后面的计算并不用到这个角速度，这里只是定量分析一下能量转换的关系。 R O 2. 此后悠悠球在重力的作用下加速下落，运动方式类似纯滚动。随着细绳逐渐被抽出，缠绕的细绳越来越接近球的中心，其角速度迅速增大。忽略空气阻力及一切能量耗散，设在细绳完全抽出的瞬时角速度为。由动能定理： 得： 其质心速度 3. 此时细绳会突然急剧张紧，在极短时间内产生一个竖直方向的冲量，使得悠悠球质心速度变为零，平动动能耗散为其他形式的能量，这就是物理中所学过的“范性过程”。规定向下为正，其冲量为： 同时，由于轴承不完全光滑，该过程轴承对悠悠球的冲量矩为（类比小球与粗糙平面的斜碰撞，平面对其的切向冲量为法向冲量的）： r O 设范性过程结束时悠悠球角速度为 动量矩定理： 得： 4. 此后由于悠悠球离合器中的钢珠受很大的离心力的作用，压缩弹簧使离合器打开，悠悠球绕质心作定轴转动，并且角速度在摩擦力矩的作用下逐渐变小。由动量矩定理有微分关系式： 即 积分，初始条件 可见随时间线性减小。当其减小到离合器的临界角速度时，钢珠的离心力和弹簧作用的压力相互平衡。只要继续减小，离合器就会卡住轴承从而使悠悠球沿细绳向上运动，达到“收球”的目的。设经过时间T 达到离合器临界角速度，代入上式有 T 即为悠悠球的空转时间，称为睡眠时间。 5. 这是悠悠球整个运动的最后一个过程，可以认为是第一个过程的逆过程。设悠悠球收回前一瞬间角速度为不计能量损耗，由动能定理： 得 至此，悠悠球的运动全过程分析结束。下面以推导出的（*）式简要讨论影响睡眠时间的因素。 结果讨论 r 1. 的影响 从表达式易知T 随减小而增大。故为了尽可能延长睡眠时间，应使尽可能小。但为了最后能将其收回，应有。综上得 时，T 最大。 2. W（初始做功）的影响 将式子略微变形，写作 显然括号里为正，故 T 随W 的增大而增大。...