共边定理典型题解析

精品文档---下载后可任意编辑A PB 面积︰AQB 面积＝PM︰QM1 如图，△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的中点，用面积方法证明：DE∥BC 且 DE＝BC．证明： D、E 分别是 AB、AC 边上的中点，∴△ADE﹕△BDE＝△ADE﹕△CDE＝1﹕1∴△BDE＝△CDE∴ DE∥BC∴∠DBC＝∠ADE由共角定理得：△ADE/△ABC＝AD·DE/AB·BC＝1/4 AD＝AB ∴DE＝BC．这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形．例2：(1983年美国中学数学竞赛题) 如 图 的 三 角 形 ABC 的 面 积 为10，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且BD＝2，DC＝3，若△BCE与四边形DCEF的面积相等，则这个面积是（ ）A．４C．５D．６B．Ｅ．不确定解：由△BCE与四边形DCEF的面积相等，在四边形BCEF中分别减去这两个面积，得△BFD与△BFE同底且面积相等，所以BF∥DE，可以得到AB为边的两个三角形△ABD与△ABE面积相等，因为三角形ABC的面积为10，且BD＝2，DC＝3，所以△ABD的面积等于4，即△ABE面积等于4，所以△BCE的面积等于10－4＝6，故选C．这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目．例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．1AAAABBBBPPPPQMMMM共边定理图：四种位置关系QQQABCDEFABCDO精品文档---下载后可任意编辑证明： OA＝OC，OB＝OD，由共角定理得：△AOB/△COD＝OA·OB＝OC·OD＝1即△AOB＝△COD，∴共底的两个三角形△ACB＝△CBD，∴AD∥BC；同理可证 AB∥CD问：共边定理怎么证线段相等答：常常是共边与共角两个定理都会用到。利用面积相等，并且面积比中有相等的线段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。例 4：(等腰三角形两腰上的高相等)已知：如图，AB＝AC，CE⊥AB 于 E，BD⊥AC 于D，求证：BD＝CE．解：由三角形面积定理得：S△ABC＝AB·CE＝AC·BD AB＝AC，∴BD＝CE ；本题是直接用等底三角形面积相等推出高相等，相比于全等三角形证法要简洁得多。例 5：如图，已知 AD 平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，DE 交 AB 于 F 点求证：BE＝EC．证明：连接 C、F，由平行线性质，得△DFC＝△DFA；由 AD 平分∠BAC，DF∥AC，可得∠FAD＝∠FDA，∴AF＝FD由 BD⊥AD，得∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF；∴AF＝BF∴△DFB＝△DFA；△DFC＝△DFB；∴BE︰EC＝△DFC︰△DFB＝1︰1，即 BE＝EC．本题是用共边三角形面积相等推出线段相...